基本介紹
- 中文名：初等集公理
- 外文名：axiom of elementary sets
- 所屬學科：數學（邏輯學）
- 提出者：策梅洛(E.F.F.Zermelo)
- 簡介：策梅羅公理系統中的一條公理
基本介紹,策梅羅及其公理系統,
基本介紹
初等集公理是策梅羅公理系統中的一條公理。它包括兩部分。第一部分稱為空集公理，它肯定：“存在一個不包含任何元素的集合∅”。根據外延公理，空集是唯一確定的。在公理集合論中，空集是構造其他集合的原料，它保證集合論有研究對象，不會言之無物。第二部分稱為無序偶公理，它斷言：“對於任何集a、b，存在一個以且僅以a、b為元素的集合。”這個集也是唯一確定的，並用{a，b}表示。無序偶是討論關係的出發點。在弗蘭克爾(Abraham Fraenkel， 1891—1965)引入置換公理模式後，空集與無序偶的存在性成為可證明的命題，因此在ZFC公理系統中，初等集的存在性不再作為一個公理。
策梅羅及其公理系統
策梅羅亦譯“蔡梅羅”。德國數學家、公理集合論的最早提出者。1889年大學畢業，1894年獲博士學位，1899年任教於格廷根大學，1905年被任命為教授。1926年被任命為弗賴堡大學榮譽教授。獨立地發現古典集合論悖論。1904年發表良序定理(每一集合都是良序的)證明，其中引用並嚴格地證明了選擇公理即策梅羅公理。為克服古典集合論中的悖論，1908年在一階謂詞演算的基礎上，將集合論的基本性質、基本運算公理化，首先在數學史上提出集合論公理系統。該系統只承認系統中公理所許可的限度內構造出來的集才是集合，不承認由一切集組成的集為該系統中的集合。它排除了康托爾悖論、布拉里-福蒂悖論以及羅素悖論等等已出現的邏輯、數學悖論。但策梅羅系統的無矛盾性仍沒得到證明。1921—1923年間，經弗蘭克爾(Abraham Fraenkel， 1891—1965)和斯柯林(Thoralf Skolem， 1887—1963)的嚴格解釋和少許改進，成為現今兩個最著名的公理集合論系統中的一個——ZF系統。主要著作有《關於集合論基礎的研究Ⅰ》。
策梅洛對集合論的首次公理化發表在他1908年的論文中。 不過，並不是他第一個提出需要這樣的公理化: 1896 年，早在集合論悖論出現以前，義大利數學家布拉里-佛緹(Cesare Burali-Forti)就提出過。事實上，布拉里-佛緹還提出了兩種候選的公理，不過他沒有給出公理系統。此外，“一些現在看來類似.....策梅洛的並集和分離公理(Axiom of Separation)的命題”也出現在1899年康托爾給戴德金的信中;不過，就算是這樣，“也沒有證據表明康托爾[將它們]視為公理”。因此是策梅洛第一個明確提出了集合論公理系統。
策梅洛的公理系統要早於一階邏輯的確切成形20年(他的公理現在通常在這個框架下被重塑)，因此他的系統不是現代意義上的形式系統。除了7條公理，還增添了許多“基本定義”，其中比如“集合論論述....包括集合在內的......稱作對象的...個體的域”還有在一 些對象間存在“確定的形如a∈b的基本關係”(其中b被理解為集合，而a則被理解為b的一個元素)。除了通常的子集概念，策梅洛還引入了確定性屬性(definite property)的概念：對於這個，“通過公理和處處成立的邏輯規則”，從“域的基本關係” 可以確定“其是否成立”(實質上，就是一個在這些關係的基礎上可判定的屬性)。下面是其公理(措辭用現代標記稍微作了修改)：
Ⅰ. (外延公理，Axiom of Extensionality) 如果M和N是集合，並且M⊂N和N⊂M同時成立(即所有M的元素也是N的元素，反過來也成立)，則N=M。因而集合也完全由它們的元素確定。
Ⅱ. (初等集公理， Axiom of Elementary Sets)存在不包含任何元素的集合(空集)；如果a是域中的任意一個對象，則存在只包含元素a的集合{a}；如果a和b是域中的任意兩個對象，則存在只包含a和b作為元素的集合{a，b}。
Ⅲ.(分離公理)如果命題函式F(x)對集合M中的所有元素x都是明確的，則M具有一個子集，其元素是那些在M中對F(x)為真的x。
Ⅳ.(冪集公理)對所有集合M都存在另一個對應的集合(其冪集)，其元素是M的(全部)子集。
Ⅴ.(並集公理，Axiom of Union)對所有集合M都存在一個對應的集合(其並集)，其元素是M的元素的(全部)元素。
Ⅵ.(選擇公理)如果集合M的所有元素都是集合，並且如果所有元素相互都不相交，則M的並集至少具有一個子集，其與M的所有元素有且僅有一個共同元素。
Ⅶ.(無窮公理)在域中包含空集作為元素的集合，如果其包含a本身作為元素，則至少{a}也是其的一個元素。
