基本介紹
- 中文名：不等量公理
- 外文名：axioms of inequality
- 所屬學科：數學
- 簡介：解不等式的依據
- 屬性：數學的基本公理之一
基本介紹,例題解析,
基本介紹
不等量公理常指以下公理：
(1)不等量加上或者減去等量，原來大的仍大；
(2)不等量乘以或者除以同一個正數，原來大的仍大；
(3)不等量加不等量，大量的和大於小量的和；
(4)等量減不等量，減去大的，差反而小；
(5)第一量大於第二量，第二量大於第三量，則第一量大於第三量；
(6)全量大於它的任何一部分；
(7)在不等式中，一個量可以用它的等量來代替。
在研究不等關係時，常要用到一些關於不等量的公理。其中有些我們在學習代數時已經在套用，如：不等量加上或者減去等量，原來大的仍舊大；不等量乘以或者除以同一個正數，原來大的仍舊大；在不等式中，一個量可以用它的等量來代替。此外，還常用到下面一些不等量的公理：
(1)第一量大於第二量，第二量大於第三量，第一量就大於第三量。例如，∠1>∠2，∠2>∠3，那么∠1>∠3。
(2)不等量加不等量，大量的和大於小量的和。例如∠1>∠2，∠3>∠4，那么∠1+∠3>∠2+∠4。
(3)全量大於它的任一部分量。例如，C是線段AB上一點，那么AB>AC。
例題解析
【例1】 證明：從直線外一點到這條直線上各點所聯的線段中，和這條直線垂直的線段最短。
已知：PO⊥AB，O為垂足，E為AB上異於O的一點，
求證: PE> PO。
圖1證明：延長PO至Q，使PO= OQ，
以AB為軸翻轉P點所在的半平面(圖1)。
∵PO⊥AB，(已知)，
∴翻轉後射線OP與OQ重合，
又OP= OQ，
∴P、Q重合，
則 PE= EQ，
PE+EQ= 2PE，
但PQ<PE+EQ，(兩點間所連線段最短)
∴PO<PE (不等量公理)。
【例2】D為△ABC內一點(圖2)，求證∠BDC>∠A。
圖2此題除可利用有關定理來證，還可以利用不等量公理。
分析1 根據“等量減不等量，減去大量的差反而小”，設法找一個等式，使它的兩端分別含有∠BDC和∠A，然後從等量減去不等量，剩餘的就是∠BDC與∠A的關係。
在△DBC和△ABC中，由三角形的內角和定理可得等式：
∠BDC+∠DBC+∠DCB=∠A+∠B+∠C，
又∠DBC+∠DCB<∠B+∠C，
∴∠BDC>∠A。
分析2 根據“不等量加不等量，大量的和大於小量的和”，可將∠BDC和∠A都分成兩個角的和，再由每一部分 的大小關係得出整個角的大小關係。最簡單的分法是連結AD並延長使之交BC邊於E(圖3)，由外角定理不難得到∠BDE>∠BAE，∠EDC>∠EAC，相加得∠BDC>∠BAC。
圖3