基本介紹
區間,定義,區別,連續函式,
區間
在數學裡，區間通常是指這樣的一類實數集合：如果x和y是兩個在集合里的數，那么，任何x和y之間的數也屬於該集合。例如，由符合0 ≤ x ≤ 1的實數所構成的集合，便是一個區間，它包含了0、1，還有0和1之間的全體實數。其他例子包括：實數集，負實數組成的集合等。
區間也是區間算術的核心概念。區間算術是一種數值分析方法，用於計算捨去誤差。
通用的區間記號中，圓括弧表示“排除”，方括弧表示“包括”。例如，區間(10, 20)表示所有在10和20之間的實數，但不包括10或20。另一方面，[10, 20]表示所有在10和20之間的實數，以及10和20。而當我們任意指一個區間時，一般以大寫字母 I 記之。有的國家是用逗號來代表小數點，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替。
定義
直線上介於固定的兩點間的所有點的集合（不包含給定的兩點），用(a,b)來表示（不包含兩個端點a和b）。
開區間的實質仍然是數集，該數集用符號（a，b）表示，含義一般是在實數a和實數b之間的所有實數，但不包含a和b。相當於{x|a<x<b}，記作（a,b） 取值不包括a、b。
區別
開區間指的是區間邊界的兩個值不包括在內；（a,b）
閉區間指的是區間邊界的兩個值包括在內。[a,b]
半開半閉區間:開區間一邊的邊界值不包括在內，而閉區間一邊的邊界值包括在內。[a,b）、（a,b]
如下：
[a,b] a<=x<=b 取值包括a、b
（a,b）a<x<b 取值不包括a、b
[a,b） a<=x<b 取值包括a，不包括b
（a,b] a<x<=b 取值不包括a，包括b
連續函式
設函式f(x)在閉區間[a,b ]上連續，則有
（1） f(x)在閉區間[a,b ]上有界，即存在M>0，x∈ [a,b ]，有| f(x)|≤ M。
（2） f(x)在閉區間[a,b ]上取到最大值與最小值，即存在 x1、x2∈ [a,b ]，使f(x1)=m，f(x2)=M，且 任意 x∈ [a,b ]，有m≤ f(x)≤ M。
（3）任意Y∈ [m,M]，存在 c∈ [a,b ]，使f(c)=Y。
（4）f(x)在閉區間[a,b ]上一致連續。
當在開區間（a,b）上時，相關結論如下：
（1）若f(x)在開區間(a,b)上連續，且f(a+ 0)，f(b-0)存在，則① f(x)在(a，b)上有界；② f(x)在(a，b)上一致連續。
（2）若f(x)在開區間(a,b)上連續，且f(a+ 0)，f(b-0)存在，①若f(a+ 0)與f(b-0)不是f(x)在開區間(a，b)上的上界，則f(x)在(a,b)上取得最大值。②若f(a+ 0)與f(b-0)不是f(x)在開區間(a，b)上的下界，則f(x)在(a，b)上取得最小值。
（3）若f(x)在開區間(a，b)上連續，f(x)在(a，b)取到最小值m與最大值M，則 任意 Y∈ [m，M]，存在c∈ [a，b ]，使f(c)=Y。
微分中值定理是利用導數研究函式在區間上的整體性態的有利工具。《高等數學》教材中的幾個微分中值定理都建立在閉區間上，利用導數研究開區間上函式的整體性態，常先轉化到閉區間，再利用中值定理加以解決。然而微分中值定理的條件是充分條件，在開區間上定義的函式只要滿足相應的性質，就有可能使微分中值定理的結論成立。
引理：
設（a，b）為有限或無窮區間，，f（ x）在（ a，b）內可導，
，則至少存在一點
，使
。
定理 1 若函式 f 滿足如下條件：
1）f 在（a，b）內可導，其中（a，b）為有限開區間；
2）
、
則（a，b）內至少存在一點 c，使得
。
定理二：若函式 f 與 g 滿足如下條件：
1）f 、g在（a，b）內可導，其中（a，b）為有限開區間；
2）、、
、
，且
，則（a，b）內至少存在一點 c，使得
。
