n維區間

n維區間是一種特殊點集，是R中區間概念的推廣。設(a_i，b_i)，[a_i，b_i](i=1，2，…，n;a_i，b_i∈R*)是R*中的區間，積集∏ⁱ⁼¹_n(a_i，b_i)與∏ⁱ⁼¹_n[a_i，b_i]，即n維空間中的集{x=(x₁，x₂，…，x_n)|a_i<x_i<b_i，i=1，2，…，n}與{x=(x₁，x₂，…，x_n)|a_i≤x_i≤b_i，i=1，2，…，n}分別稱為n維開區間與n維閉區間。

基本介紹

• 中文名：n維區間
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：數學分析（點集論）
• 簡介：R中區間概念的推廣

基本介紹

設(a_i，b_i)，[a_i，b_i](i=1，2，…，n;a_i，b_i∈R*)是R*中的區間，積集：

(a_i，b_i)與 [a_i，b_i]

即n維空間中的集{x=(x₁，x₂，…，x_n)|a_i<x_i<b_i，i=1，2，…，n}與{x=(x₁，x₂，…，x_n)|a_i≤x_i≤b_i，i=1，2，…，n}分別稱為n維開區間與n維閉區間。

記為(a，b)與[a，b]，其中a=(a₁，a₂，…，a_n)，b=(b₁，b₂，…，b_n)，(a_i，b_i)([a_i，b_i])稱為(a，b)([a，b])的支區間。若所有a_i，b_i是實數，則稱(a，b)，[a，b]為n維有界區間，否則稱為n維無界區間，上述區間統稱為n維區間。從幾何上看，二維有界區間就是矩形，三維有界區間就是長方體，因此，也把n維有界區間稱為n維長方體。特別地，當b₁-a₁=b₂-a₂=…=b_n-a_n時，又稱為n維方體或n維方區間。例如：

(a_i-δ，a_i+δ)

就是n維開方區間，a=(a₁，a₂，…，a_n)稱為它的中心，2δ是它的棱長。n維區間(a，b)與[a，b]的n維體積是：

(b_i-a_i)。

n維區間I的容積

n維區間 的容積都定義為：

(b_j-a_j)， (1)

於是，當n=1時， 即為一維區間 的長度，當n=2時， 即為平面矩形面積;當n=3時， 即為空間長方體的體積。

下面我們講的Rⁿ的積分，一般都假定n≥2。

如果Rⁿ內的點集S可以表為有限個無公共內點的n維區間 之並，即若

我們便定義S的容積為

我們約定由有限個無公共內點的n維區間所成之並集，簡單地說成是n-區間有限並集。

性質1 若S是Rⁿ的一個n-區間有限並集，則S的容積與組成S的這些區間的表示方法無關(圖1)。

圖1

證明 設S=∪ =∪J,其中 是有限個彼此無公共內點的閉區間，J也是有限個彼此無公共內點的閉區間。利用所有I與J的界面，將S分割為一系列彼此無公共內點的閉區間I'與一系列彼此無公共內點的閉區間J'。每個I'的成員與J'的每一個成員，或者無公共內點，或者內部完全重合，而所有I'的並集即為所有J'的並集。故有圖(2)

圖2

另一方面，每個又是有限個之並;每個J_i又是有限個J'_i之並。 即

所以

性質2 如果S與T都是n維區間的有限並集，且TS，則：

V(S\T)=V(S) -V(T). (3)

證明因為(S\T)∪T=S,而S\T與T均為無公共內點的n維區間之並集。故由定義，有：

V(S\T)+V(T)=V(S),

此即(3)圖(3)。

圖3

性質3設S、T都是n-區間的有限並集，則有

V(S∪T)+V(S∩T)=V(S)+V(T).(4)

證明因為：SUT= [S\(S∩T)J∪[T\(S∩T)]∪[S∩T]，

而S\(S∩T)，T\(S∩T)和(S∩T)仍是n-區間的有限並集，它們彼此無公共內點，所以按定義，有

V(SUT)

=V[S\(S∩T)]+V[T\(S∩T)]+V(S∩T)

=V(S)-V(S∩T)+V(T)-V(S∩T)+V(S∩T)

=V(S)+V(T )-V(S∩T)

移項後，即為(4) (圖4)。

圖4