基本介紹
- 中文名：微分中值定理
- 外文名：mean value theorem
- 提出者：拉格朗日、泰勒等
- 套用學科：數學、物理學
- 適用領域範圍：微積分
羅爾定理,拉格朗日定理,柯西定理,泰勒公式,達布定理,洛必達法則,
羅爾定理
內容：
如果函式f(x)滿足：
在閉區間[a,b]上連續；
在開區間(a,b)內可導；
在區間端點處的函式值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.
弧上至少有一點 ，曲線在該點切線是水平的。
拉格朗日定理
內容：
如果函式 f(x) 滿足：
1)在閉區間[a,b]上連續；
2)在開區間(a,b)內可導。
那么：在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b)，
使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
拉格朗日中值定理的幾何意義是：曲線上必然存在至少一點，過該點的切線的斜率和連線曲線（a，b）的割線的斜率相同；或者說，曲線上必然存在至少一點可以做割線（a，b）的平行線
柯西定理
內容：
如果函式f(x)及F(x)滿足
(1)在閉區間[a,b]上連續；
(2)在開區間(a,b)內可導；
(3)對任一x∈(a,b)，F'(x)≠0
那么在(a,b) 內至少有一點ξ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)
成立
以上三個為微分中值定理定積分第一中值定理為：
f(x)在a到b上的定積分等於f(ξ)(b-a)（存在ξ∈[a,b]使得該式成立）
註：積分中值定理可以根據介值定理推出所以同樣ξ∈[a,b]都為閉區間。
泰勒公式
內容 ：若函式f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以展開為一個關於（x-x.)多項式和一個餘項的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.之間，該餘項稱為拉格朗日型的餘項。
（註：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x.的相乘。）
推論：麥克勞林公式
內容：
若函式f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以展開為一個關於x多項式和一個餘項的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),這裡0<θ<1.
達布定理
內容：
若函式f(x)在[a,b]上可導,則f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之間任何值.
推廣：若f(x),g(x)均在[a,b]上可導,並且在[a,b]上,g′(x)≠0,則f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)與f′(b)/g′(b)之間任何值。
洛必達法則
內容：
設(1)當x→a時，函式f(x)及F(x)都趨於零；
(2)在點a的去心鄰域內，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)當x→a時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那么
x→a時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
又設
(1)當x→∞時，函式f(x)及F(x)都趨於∞；
(2)當|x|>N時f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)當x→∞時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那么
x→∞時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
