擬桶型空間

擬桶型空間(quasi-barreled space)是桶型空間概念的推廣，設E是局部凸空間，E中的子集A稱為擬桶集，是指A是吸收一切有界集的桶集，如果E中每個擬桶集都是零元的鄰域，則稱E為擬桶型空間。局部凸空間為擬桶型空間的充分必要條件是在每個有界集上的下半連續半範數是連續的。

基本介紹

• 中文名：擬桶型空間
• 外文名：quasi-barreled space
• 所屬學科：數學（泛函分析）
• 相關概念：擬桶集，桶形空間，局部凸空間等
• 屬性：一類局部凸空間
• 簡介：桶型空間概念的推廣

基本介紹

在局部凸空間E內，吸收的絕對凸閉集稱為桶集(barrel)，在序列完備空間內，因而在擬完備空間內，桶集吸收每個有界集。如果一個局部凸空間的每個桶集都是0的鄰域，則此空間稱為桶型空間。在一個局部凸空間內，如果每個吸收一切有界集的桶集都是0的鄰域，則這樣的局部凸空間稱為擬桶型空間。又當吸收每個有界集的絕對凸集是0的鄰域時，這種局部凸空間就稱為有界型的。有界型空間是擬桶型的，但不一定是桶型的，桶型空間也不一定是有界型的，可度量化局部凸空間，即其拓撲由至多可數個半範數所確定的空間，是有界型空間。完備的並且可度量化的局部凸空間稱為局部凸Fréchet空間(locally convex Fréchetspace)或F空間((F)-space)。F空間又簡稱Fréchet空間(Fréchet space)。為了和Banach空間那一條中的Fréchet空間有所區別，有時稱後者為Banach意義下的Fréchet空間(Fréchet space in the sense of Banach)。F空間是有界型的並且是桶型的。

兩個局部凸空間之間的連續線性映射 把E的有界集映為F的有界集。反之，當E是有界型空間時，把E的每個有界點列映成F的有界點列的線件映射是連續的。

相關概念

桶型空間

桶型空間(barreled space)是一類局部凸空間，設E是局部凸空間，E中的吸收的均衡凸閉集稱為桶集。在序列完備空間中，因而在有界完備空間中，桶集吸收每個有界集，如果局部凸空間E的每個桶集都是零元的鄰域，則E稱為桶型空間，E成為桶型空間的充分必要條件是每個下半連續的半範數必是連續的。桶型空間的研究與一致有界定理在拓撲線性空間中的推廣有密切的聯繫。

麥基空間

擬桶型空間是麥基空間。

麥基空間(Mackey space)是一類局部凸空間，設為對偶線性空間，在Y的每個弱緊凸集上一致收斂的拓撲是一種可允許拓撲，稱為X上的麥基拓撲，記為。X上一個局部凸拓撲成為相容拓撲的充分必要條件是它比弱拓撲強，而比弱。麥基拓撲是最強的相容拓撲。原來的拓撲與麥基拓撲相同的局部凸空間E稱為麥基空間。擬桶型空間是麥基空間。

自反局部凸空間

自反局部凸空間(reflexive locally convex space)是一類局部凸空間。設E是局部凸空間，則賦予強拓撲的共軛空問的共軛空間包含原來的空間E，當時，稱E是半自反的。進一步當E的拓撲和強拓撲一致時，稱E為自反的。E為半自反的充分必要條件是E的任意有界弱閉凸集是弱緊的，E為自反的充分必要條件是E為半自反的且是擬桶型的。對於賦可列范線性空間，自反和半自反是一致的。

DF空間

DF空間是一種可數的擬桶型空間。滿足下面兩個條件的局部凸空間稱為DF空間((DF)-space)：1)具有有界集的可數基，ii)如果0的可數個絕對凸且閉的鄰域的交V吸收一切有界集，則V也是0的鄰域。F空間的對偶空間是DF空間，DF空間的對偶空間是F空間。為使DF空間E到局部凸空間F內的線性映射是連續的，其充分必要條件是此映射在任一有界集上的限制是連續的。擬完備DF空間是完備空間。

由兩個局部凸空間到局部凸空間G的雙線性映射，如果固定或時，分別是x或y，的連續映射，就稱它為分別連續的(separatelycontinuous)。我們把由固定x或y時所得到的線性映射，記作或。如果對於E的任意有界集B和F的任意有界集和為等度連續，則稱為亞連續的(hypocontinuous)。連續的雙線性映射是亞連續的，其逆不一定成立。分別連續的雙線性映射未必是亞連續的。但當都是桶型空間時，分別連續的雙線性映射是亞連續的，當E是F空間，F是可度量化空間時，分別連續的雙線性映射是連續的。又當都是DF空間時，亞連續的雙線性映射是連續的。