基本介紹
- 中文名：伽羅瓦擴張
- 外文名：galois extension
- 領域：數學
- 相關：正規擴張又是可分擴
- 類型：名詞
- 屬於：伽羅瓦理論的核心概念
定義,等價定義,例子,性質,事實,
定義
對於一個伽羅瓦擴張 K/k，可以定義伽羅瓦群，為所有 K/k 的自同構構成的群。抽象代數， 研究代數的具體結構，群、環、域、模，域的可分正規擴張——伽羅瓦擴張。（定義在什麼樣的物體上可以進行所謂的測量，嚴格的從數學的公理化出發進行定義）
伽羅瓦擴張是抽象代數中伽羅瓦理論的核心概念之一。伽羅瓦擴張是域擴張的一類。如果某個域擴張L/K既是可分擴張也是正規擴張，則稱其為伽羅瓦擴張。另一個等價的定義是：伽羅瓦擴張是使得其上的環自同構群的固定域為其基域的域擴張。伽羅瓦擴張上的自同構群稱為伽羅瓦群，而且伽羅瓦擴張的中間域與其伽羅瓦群的子群之間的關係滿足伽羅瓦理論基本定理。
等價定義
L是某個以K中元素為係數的多項式在K的分裂域，而且該多項式在此分裂域中沒有重根。
[L:K] = |Aut(L/K)|。域擴張L/K的次數，等於其上的自同構群Aut(L/K)的階數（群元素的個數）。
Aut(L/K)的不變域，即
，是K。
例子
以下諸例中 F 是一個域，C、R、Q 分別為複數、實數與有理數域。記號 F(a) 表示通過添加一個元素 a 到域 F 中得到的域擴張。
Gal(F/F) 是一個元素的平凡群，即恆同自同構。
Gal(C/R) 有兩個元素，恆同自同構與復共軛自同構。
Aut(R/Q) 平凡。事實上可以證明任何 Q-自同構一定保持實數的順序，從而必然是恆同。
Aut(C/Q) 是一個無限群。
Gal(Q(√2)/Q) 有兩個元素，恆同自同構與將 √2 和 ?√2 互換的自同構。
考慮域 K = Q(3√2)。群 Aut(K/Q) 只包含恆同自同構。因為 K 不是正規擴張，這是因為其它兩個三次根（都是複數）不在擴張中——換句話說 K 不是一個分裂域。
現在考慮 L = Q(3√2, ω)，這裡 ω 是本原三次單位根。群 Gal(L/Q) 同構於6階二面體群 S3，事實上 L是 x3 ? 2 在 Q 上的分裂域。
性質
如果域擴張L/K是伽羅瓦擴張，則中間擴張K⊂F⊂L中，L/F也是伽羅瓦擴張。
域K的代數閉包K是K的伽羅瓦擴張，若且唯若K是完美域。
事實
一個擴張是伽羅瓦型的重要性是因為它滿足伽羅瓦理論基本定理（fundamental theorem of Galois theory：伽羅瓦群的子群對應於這個域擴張的中間擴張。
如果 E/F 是伽羅瓦擴張，則 Gal(E/F) 能給出一個拓撲，稱為克魯爾拓撲（Krull topology），使其成為一個投射有限群（profinite group）。
