克魯爾拓撲

克魯爾拓撲(Krull topology)是一種拓撲。用以推廣有限伽羅瓦理論的基本定理。它是克魯爾(Krull，W.)於1928年對無限伽羅瓦群引入的。

基本介紹

• 中文名：克魯爾拓撲
• 外文名：Krull topology
• 領域：數學
• 學科：拓撲
• 意義：推廣有限伽羅瓦理論
• 提出者：克魯爾

概念

克魯爾拓撲(Krull topology)是一種拓撲。用以推廣有限伽羅瓦理論的基本定理。它是克魯爾(Krull，W.)於1928年對無限伽羅瓦群引入的。設K/F是無限伽羅瓦擴張，G=G(K/F)為其伽羅瓦群。若以集Σ={G(E/F)|E為K/F的中間域，且E/F為有限伽羅瓦擴張}作為G的單位元的鄰域基，則在G上定義了一個拓撲，稱為G的克魯爾拓撲。就這個拓撲而言，G成為一個全不連通的、緊緻的T₂拓撲群。又在這個拓撲下，對於K/F的每箇中間域E，G(K/E)都是G中的閉子群。

拓撲

集合上的一種結構。設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：

1.X與空集都屬於T；

2.T中任意兩個成員的交屬於T；

3.T中任意多個成員的並屬於T；

則T稱為X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T)。

設T₁與T₂為集合X上的兩個拓撲。若有關係T₁T₂，則稱T₁粗於T₂，或T₂細於T₁。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時，則稱它們是不可比較的。在集合X上，離散拓撲是最細的拓撲，平凡拓撲是最粗的拓撲。

有限伽羅瓦理論基本理論

有限伽羅瓦理論基本理論是有限伽羅瓦理論的核心定理。設K是域F的有限伽羅瓦擴域，G=G(K/F)為其伽羅瓦群，對G的每個子群H，它在K中的固定域K滿足：

反之，K/F的任一中間域E，恆有K/E為伽羅瓦擴張且G(K/E)為G的子群。於是，可建立G的子群簇{H}與K/F的中間域簇{E}間的伽羅瓦對應：

基本定理斷言Φ：H→K^H是G的子群簇與K/F的中間域簇間的雙射。並且在此對應下：

1.G→F，單位子群{1}→K。

2.子群H的階等於[K∶K^H]且H在G中指數為[K^H∶F]。

3.G的兩個子群H₁，H₂共軛的充分必要條件是它們對應的中間域，在F上共軛。

4.H是G的正規子群若且唯若對應的中間域K^H是F伽羅瓦擴域.此時伽羅瓦群G(K^H/F)∽G/H。

無限伽羅瓦理論基本定理

無限伽羅瓦理論基本定理是有限伽羅瓦理論基本定理的推廣。設K是域F的一個無限次伽羅瓦擴域，其伽羅瓦群為G=G(K/F)。對於K/F的任意中間域E，自同群群G(K/E)是G的一個閉子群；反之，G的每個閉子群H在K中的固定域K是K/F的中間域。基本定理斷言：H→K是G的閉子群簇到K/F的中間域簇之間的一一對應。由於G(K/F)存在非閉的子群，所以對比有限伽羅瓦擴張情形，此對應不是子群簇到中間域簇的一一對應。

克魯爾

德國數學家。生於巴登(Baden)，在波恩工作。他是諾特(Noether，E.)、阿廷(Artin，E.)所創立的德國代數學派的代表人物，對諾特環和一般交換環論的發展做出了重要貢獻。1926年，他建立了帶運算元阿貝爾群和群的線性表示兩個概念的關係，這一問題後來為諾特進一步發展。1928年，他發展了無限伽羅瓦擴張理論，建立了以他的名字命名的克魯爾拓撲，同年他還把有限半單模的一般理論推廣到任意半單模上，後來他又引進了局部環的理論。1932年以後，他開始研究一般賦值論及局部環理論。他的主要專著有《理想理論》(1935;1968第2版)等。