模擴張(modular extension)是比可分擴張更廣泛的一類域擴張。特徵為p≠0的域擴張K/F，若對於每個整數n≥1，K與F都是線性分離的，則稱為模擴張。可分擴張就是模擴張的一個例子。當F上每個域擴張都是模擴張時，F就稱為模完備域。
基本介紹
- 中文名：模擴張
- 外文名：modular extension
- 領域：數學
- 學科：代數
- 性質：域擴張
- 相關詞：可張擴張
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概念
模擴張(modular extension)是比可分擴張更廣泛的一類域擴張。特徵為p≠0的域擴張K/F，若對於每個整數n≥1，K與F都是線性分離的，則稱為模擴張。可分擴張就是模擴張的一個例子。當F上每個域擴張都是模擴張時，F就稱為模完備域。F成為模完備域，若且唯若[F∶Fp]≤p。模完備域有一個類似於完備域的性質：模完備域的代數擴域仍然是模完備域。就純不可分擴張K/F而言，K上存在一個惟一的極小擴域L，使得L/F成為模擴張。這個L稱為K/F的模閉包。滿足K∩Fp-1=F的不可分擴張K/F稱為例外擴張。F成為模完備域的另一個充分必要條件，是F上不存在例外擴張。
域
設P是一至少含有兩個元素的環，如果在P中乘法還具有下列性質：
(1)有單位元素，即在P中有一元素e，使ea=ae=a，對所有的a∈P；
(2)有逆元素，即對p中每個非零元素a都有一元素a-1，使a-1a=aa-1=e；
(3)交換律成立，即ab=ba，a，b∈P，那么P就叫做一個域。域有下列的基本性質：
(1)域沒有零因子；
(2)若集F在兩個 二元運算(加法和乘法)下滿足下列條件，則F為一個域：
①F是以零為單位元的加法群；
②由除零外的F的一切元組成的集在乘法下是一個交換群；
③乘法對加法是可分配的；
(3)在域F中，方程ax=b(a，b∈F，a≠0)有唯一的解，並記作x=a/b；
(4)在F中，指數律成立；
(5)若把域F的單位元e的n倍ne記作n，則F中任一元a的n倍na就是n與a的積na。
模
模是一個重要的代數系統。它是一個帶運算元區A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：
1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，
則稱A為M的運算元區，稱M為帶運算元區A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射μ： A→End(M)， a→aM。
特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：
2.(a+b)x=ax+bx;
3.(ab)x=a(bx);
即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為AM。類似地，有右A模M，記為MA.若A有單位元1，且又滿足條件：
4.1x=x (x∈M);
則稱M為酉模或麼模，以下設A模都是酉模。
擴張
域的擴張
域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F。此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。
若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域。若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域。當S={α1，α2，…，αn}是有限集合時，F(α1，α2，…，αn)稱為添加α1，α2，…，αn於F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張)。它由一切形如f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元組成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多項式且g(α1，α2，…，αn)≠0。
由於這個原因，當F(α1，α2，…，αn)關於F的超越次數≥1時，F(α1，α2，…，αn)也稱為F上的代數函式域。當S={α}時，稱F(α)為F的單擴張域，也稱本原擴域。F的有限代數擴域K是單擴域的充分必要條件是，擴域K與基域間存在有限箇中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。
可分擴張
可分擴張是一種重要的域擴張。其特徵為p的域F的任意擴張K/F，Ω是K的代數閉包，若K與Fp={α∈Ω|αp∈F}在F上是線性分離的，則稱K/F是可分擴張。當F是完備域時，F上任何擴張都是可分擴張。當K/F是代數擴張時，若α∈K在F上的最小多項式是可分多項式，則稱α是(F上的)可分代數元(簡稱F上可分元)。若K中每個元均為F上可分元，則稱K是F上可分擴張。若K/F有一個超越基S，使得K是可分的，則稱S是可分超越基。若K/F有這樣一個可分超越基，則稱此擴張K/F是可分生成的。完備域上的有限生成擴張均為可分生成擴張。可分擴張具有傳遞性。當K/F是有限生成，而且是可分擴張時，K/F是可分生成的。反之，可分生成的擴張必然是可分擴張。
