非分歧擴張(unramified extension)是一類重要的域擴張。域擴張是域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F。此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。
基本介紹
- 中文名：非分歧擴張
- 外文名：unramified extension
- 領域：數學
- 學科：域論
- 性質：一類重要的域擴張
- 相對概念：分歧擴張
概念,域,域的擴張,域論,
概念
非分歧擴張(unramified extension)是一類重要的域擴張。設E/F是局部域擴張，
與
為其剩餘類域，若
可分且剩餘類次數
，則E/F稱為非分歧擴張。設F為整體域，E為其有限擴張，Q為F的素除子P在E的延拓。若e(Q/P)=1，則稱Q在F上非分歧；若P在E的所有延拓均非分歧，則稱P在E中非分歧(或E/F在P非分歧)；若F的所有素除子(有時限於所有有限素除子)均在E非分歧，則稱E/F為非分歧擴張。非分歧擴張在類域論中起重要作用。局部域的有限擴張E/F是非分歧擴張的充要條件為E=F(α)，其中α是某首一多項式f(x)∈OF[x]的根，且在剩餘類域中
是
的單根。此時
且
是n次擴張E/F的整基。
域
設P是一至少含有兩個元素的環，如果在P中乘法還具有下列性質：
(1)有單位元素，即在P中有一元素e，使ea=ae=a，對所有的a∈P；
(2)有逆元素，即對p中每個非零元素a都有一元素a-1，使a-1a=aa-1=e；
(3)交換律成立，即ab=ba，a，b∈P，那么P就叫做一個域。域有下列的基本性質：
(1)域沒有零因子；
(2)若集F在兩個 二元運算(加法和乘法)下滿足下列條件，則F為一個域：
①F是以零為單位元的加法群；
②由除零外的F的一切元組成的集在乘法下是一個交換群；
③乘法對加法是可分配的；
(3)在域F中，方程ax=b(a，b∈F，a≠0)有唯一的解，並記作x=a/b；
(4)在F中，指數律成立；
(5)若把域F的單位元e的n倍ne記作n，則F中任一元a的n倍na就是n與a的積na。
域的擴張
域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F。此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。
若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域.若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域.當S={α1，α2，…，αn}是有限集合時，F(α1，α2，…，αn)稱為添加α1，α2，…，αn於F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張)。它由一切形如f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元組成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多項式且g(α1，α2，…，αn)≠0。
由於這個原因，當F(α1，α2，…，αn)關於F的超越次數≥1時，F(α1，α2，…，αn)也稱為F上的代數函式域。當S={α}時，稱F(α)為F的單擴張域，也稱本原擴域。F的有限代數擴域K是單擴域的充分必要條件是，擴域K與基域間存在有限箇中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。
域論
域是許多數學分支(如代數、代數數論、代數幾何等)研究的基礎，而有限域則在近代編碼、正交試驗設計和計算機理論中都有重要套用，通過理想來研究環，這是研究環的基本方法。但是，由於域只有平凡理想，因此無法通過域的理想來研究域，要研究域，必須採取別的方法，其中最基本的方法就是通過對域添加若干元進行擴張，域的擴張起源於數域的擴張。
早在19世紀初，伽羅華在研究代數方程的著作里就出現了域的概念的萌芽，後來戴德金(J.W.R.Dedekind)和克羅內克(L.Kronecker)在不同背景下也提出了域的概念。系統研究域的理論始於韋伯(H.Weber)，而域的公理系統是迪克森(L.E.Dickson)和亨廷頓(E.V.Huntington)分別於1903和1905年獨立創立的。在韋伯等人的影響下，施泰尼茨(E.Steinitz)對抽象域進行了系統研究，於1910年發表論文“域的代數理論”，對域論本身以及相關科學的發展產生重大影響。
1893年，安里西·韋伯給出抽象域的首個清晰定義。
1910年，施泰尼茨於1911年發表了論文《域的代數理論》（英文：Algebraic Theory of Fields、德文：Algebraische Theorie der Körper）。論文中他以公理化的方式研究了域的性質並給出了多個域的有關術語，比如素域、完全域，和域擴張的超越次數。
