全分歧擴張(totally ramified extension)是一類有限賦值域擴張,它是與非分歧擴張相反的概念。賦值域(F,B)的一個有限擴張(K,C),若分歧指數e(C|F)=[K∶F],則稱此擴張為全分歧擴張。此時,B對於K是無虧損的,且C是B在K上的惟一拓展。
基本介紹
- 中文名:全分歧擴張
- 外文名:totally ramified extension
- 屬性:一類有限賦值域擴張
- 別稱:純分歧擴張、完全分歧擴張
- 相關概念:Eisenstein多項式,域擴張等
定義,完全分歧擴張的刻畫,定理1,定理2,不分歧擴張的刻畫,定理3,引理,定理4,
定義
設 是完備離散賦值域的有限擴張,以 表示E的賦值環和素理想, 表示F的賦值環和素理想,而 和 分別表示E和F的剩餘類域。令 ,則 。如果(從而 ),稱 為不分歧擴張。如果 (從而 ),稱為完全分歧擴張(或純分歧擴張)。
完全分歧擴張的刻畫
首先回憶
稱為Eisenstein多項式是指.
定理1
設是完備離散賦值域的有限擴張,是E的一個素元。
(1)若是完全分歧的,則,並且在F上的最小多項式為Eisenstein多項式。
(2)反之,若,並且在F上的最小多項式是Eisenstein多項式,則是完全分歧擴張,並且是E的一個素元。
定理2
設為n次擴張且可分,則存在中間域使為非分歧擴張,為完全分歧擴張;且有單位使為的整基。
例1當p為奇素數時,和均是Eisenstein多項式,所以和都是的完全分歧擴張。對於p=2,同樣可知是的完全分歧擴張,進而對和,我們有,而和在上的極小多項式和都是對的Eisenstein多項式,所以和也是的完全分歧擴張。
不分歧擴張的刻畫
定理3
(1)設是不分歧擴張,如果,取元素,使得,則,並且若是在F上的極小多項式,則是在F上的極小多項式。
(2)若是中首1多項式,。如果(在的代數閉包中)沒有重根,則是不分歧擴張。
引理
設是完備離散賦值域的有限擴張,並且是有限域。
(1)對於,則不分歧若且唯若和均不分歧。
(2)若是有限擴張,不分歧,則不分歧。
(3)若均不分歧,則不分歧。
定理4
(2)對每個,都存在惟一的n次不分歧擴張。
(3)設是有限擴張,則存在中間域F,使得為不分歧,而是完全分歧。