全分歧擴張

全分歧擴張

全分歧擴張(totally ramified extension)是一類有限賦值域擴張,它是與非分歧擴張相反的概念。賦值域(F,B)的一個有限擴張(K,C),若分歧指數e(C|F)=[K∶F],則稱此擴張為全分歧擴張。此時,B對於K是無虧損的,且C是B在K上的惟一拓展。

基本介紹

  • 中文名:全分歧擴張
  • 外文名:totally ramified extension
  • 屬性:一類有限賦值域擴張
  • 別稱:純分歧擴張、完全分歧擴張
  • 相關概念:Eisenstein多項式,域擴張等
定義,完全分歧擴張的刻畫,定理1,定理2,不分歧擴張的刻畫,定理3,引理,定理4,

定義

是完備離散賦值域的有限擴張,以
表示E的賦值環素理想
表示F的賦值環和素理想,而
分別表示E和F的剩餘類域。令
,則
。如果
(從而
),稱
不分歧擴張。如果
(從而
),稱
完全分歧擴張(或純分歧擴張)。

完全分歧擴張的刻畫

首先回憶
稱為Eisenstein多項式是指
.

定理1

是完備離散賦值域的有限擴張,
是E的一個素元
(1)若
是完全分歧的,則
,並且
在F上的最小多項式為Eisenstein多項式。
(2)反之,若
,並且
在F上的最小多項式是Eisenstein多項式,則
是完全分歧擴張,並且
是E的一個素元。

定理2

為n次擴張且
可分,則存在中間域
使
為非分歧擴張,
為完全分歧擴張;且有單位
使
的整基。
例1當p為奇素數時,
均是Eisenstein多項式
,所以
都是
的完全分歧擴張。對於p=2,同樣可知
的完全分歧擴張,進而對
,我們有
,而
上的極小多項式
都是對
的Eisenstein多項式,所以
也是
的完全分歧擴張。

不分歧擴張的刻畫

定理3

(1)設
是不分歧擴張,如果
,取元素
,使得
,則
,並且若
在F上的極小多項式,則
在F上的極小多項式。
(2)若
中首1多項式,
。如果
(在
的代數閉包
中)沒有重根,則
是不分歧擴張。

引理

是完備離散賦值域的有限擴張,並且
有限域
(1)對於
,則
不分歧若且唯若
均不分歧。
(2)若
是有限擴張,
不分歧,則
不分歧。
(3)若
均不分歧,則
不分歧。

定理4

(1)設
中的
次本原單位根,並且
與p互素,以n表示滿足
的最小正整數,則
的n次不分歧擴張,並且這是伽羅瓦擴張,其伽羅瓦群
是由自同構
生成的n次循環群,其中
(2)對每個
都存在惟一的n次不分歧擴張。
(3)設
是有限擴張,則存在中間域F,使得
為不分歧,而
是完全分歧。

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