類域塔問題(problem of class field tower)是關於是否可以有無限長的希爾伯特類域鏈的問題。設有域擴張序列K0K1K2…，其中Ki是Ki-1的希爾伯特類域，這樣的序列稱為類域塔。
基本介紹
- 中文名：類域塔問題
- 外文名：problem of class field tower
- 領域：數學
- 學科：類域論
- 性質：希爾伯特類域鏈的問題
- 證明：戈羅德
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概念
類域塔問題(problem of class field tower)是關於是否可以有無限長的希爾伯特類域鏈的問題。設有域擴張序列K0K1K2…，其中Ki是Ki-1的希爾伯特類域，這樣的序列稱為類域塔。問題是類域塔是否可能無限擴展下去?這一問題有很長的歷史，事實上在證明主理想定理時，要用到兩層的類域塔。直到1964年，由戈羅德(Golod)與沙發列維奇(Shafarevich)給出肯定的回答，他們證明：當
希爾伯特類域
希爾伯特類域亦稱最大非分歧阿貝爾擴張。一種重要的類域。最早由希爾伯特(Hilbert，D.)於1898年至1899年猜出，後來發展為系統而一般的類域論。數域k的希爾伯特類域K有下列性質：
1.伽羅瓦群G(K/k)與k的理想類群同構。
2.k的素理想p在K完全分裂若且唯若p為主理想。
3.K是k的最大非分歧(對有限和無限素除子)阿貝爾擴張。
4.k的任一理想到K均為主理想。
類域論
類域論是代數數論的重要理論之一。它深刻地刻畫了(相對)阿貝爾擴張。基本定理如下：若K/k為數域的有限阿貝爾擴張，伽羅瓦群為G=G(K/k)，則存在k的模f(稱為K/k的導子，是k的一個除子)，使得對k的任意的模m，由f|m得出G同構於m射線類群I(m)/PmN(m)，式中I(m)為與m互素的k的理想集，N(m)為與m互素的K的理想到k的范全體，Pm為模m餘1的α∈k生成的主理想集。且k的素除子v在K分歧若且唯若v|f；k的與m互素的素理想p在K完全分裂若且唯若p∈PmN(m)；反之，對k的任一模m及I(m)的任一含Pm子群H，總存在惟一阿貝爾擴張K/k，使得H=kPmN(m)且上述事實均成立。特別地，G(K/k)I(m)/H.更經常的是用伊代爾語言敘述類域論的定理.基本定理：若K/k為數域的有限阿貝爾擴張，則伽羅瓦群G(K/k)同構於Jk/kNJk，式中Jk為k的伊代爾群，NJK為K的伊代爾群到k的范.上述群的同構由阿廷映射給出。由此可得出，數域k的諸有限阿貝爾擴張K/k與Jk的含k諸開子群H之間一一對應，即K對應於H=kNJK，稱為H的類域，G(K/k)Jk/H;這一對應是這兩個格(對於複合(或積及交))的反向(包含關係)格同構。類域論有系統的定理和套用，有多種不同的表述方式。對於局部域的阿貝爾擴張有類似的定理(局部類域論)，對於有限域上的單變數函式域也有類似的定理。
域擴張
域擴張是域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F.此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。
若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域。若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域。當S={α1，α2，…，αn}是有限集合時，F(α1，α2，…，αn)稱為添加α1，α2，…，αn於F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張)。它由一切形如f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元組成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多項式且g(α1，α2，…，αn)≠0。
由於這個原因，當F(α1，α2，…，αn)關於F的超越次數≥1時，F(α1，α2，…，αn)也稱為F上的代數函式域。當S={α}時，稱F(α)為F的單擴張域，也稱本原擴域。F的有限代數擴域K是單擴域的充分必要條件是，擴域K與基域間存在有限箇中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。
