域特徵

域的特徵是交換代數中的基本概念。 一個域就是滿足加、減、乘、除 四則運算的集合。 比如有理數域， 有理函式域， 代數數域、伽羅華域等等。

基本介紹

• 中文名：域特徵
• 領域：數學
• 學科：交換代數
• 性質：域

概念

域的特徵是交換代數中的基本概念。 一個域就是滿足加、減、乘、除四則運算的集合。 比如有理數域，有理函式域，代數數域、伽羅華域等等。

任何域必定包含元素0和1。和我們所熟悉的有理數域不同， 有些域中，若干個1相加有可能等於零。 假設p是最小的正整數， 使得p個1相加等於0， 那么p就稱為域的特徵。 特別的， 如果任何多個1相加都不會是0， 那么特徵p就定義為0。

可以證明， 如果域的特徵p>0，則p一定是素數。特徵大於零的域有很多， 比如模p的剩餘類域（也就是p的剩餘系)：{0，1，2，...，p-1}特徵為p(>0)的域F中元素滿足Frobenius條件：(x+y)^p=x^p+y^p，x、y∈F。

域

設P是一至少含有兩個元素的環，如果在P中乘法還具有下列性質：

(1)有單位元素，即在P中有一元素e，使ea=ae=a，對所有的a∈P；

(2)有逆元素，即對p中每個非零元素a都有一元素a，使a^-1a=aa^-1=e；

(3)交換律成立，即ab=ba，a，b∈P，那么P就叫做一個域。域有下列的基本性質：

(1)域沒有零因子；

(2)若集F在兩個 二元運算(加法和乘法)下滿足下列條件，則F為一個域：

①F是以零為單位元的加法群;

②由除零外的F的一切元組成的集在乘法下是一個交換群；

③乘法對加法是可分配的；

(3)在域F中，方程ax=b(a，b∈F，a≠0)有唯一的解，並記作x=a/b；

(4)在F中，指數律成立；

(5)若把域F的單位元e的n倍ne記作n，則F中任一元a的n倍na就是n與a的積na。

域論

域論（Field Theory）是抽象代數的分支，是不少學科的基礎，是代數學中最基本的概念之一，且歷史悠久。研究域的性質，簡單地說，一個域是在其上有"加法"、"減法"、"乘法"和"除法"的代數結構。

域是許多數學分支(如代數、代數數論、代數幾何等)研究的基礎，而有限域則在近代編碼、正交試驗設計和計算機理論中都有重要套用，通過理想來研究環，這是研究環的基本方法。但是，由於域只有平凡理想，因此無法通過域的理想來研究域，要研究域，必須採取別的方法，其中最基本的方法就是通過對域添加若干元進行擴張，域的擴張起源於數域的擴張。

早在19世紀初，伽羅華在研究代數方程的著作里就出現了域的概念的萌芽，後來戴德金(J.W.R.Dedekind)和克羅內克(L.Kronecker)在不同背景下也提出了域的概念。系統研究域的理論始於韋伯(H.Weber)，而域的公理系統是迪克森(L.E.Dickson)和亨廷頓(E.V.Huntington)分別於1903和1905年獨立創立的。在韋伯等人的影響下，施泰尼茨(E.Steinitz)對抽象域進行了系統研究，於1910年發表論文“域的代數理論”，對域論本身以及相關科學的發展產生重大影響。域的概念最初被阿貝爾和伽羅瓦隱含地用於他們各自對方程的可解性的工作上。

交換代數

以交換環為主要研究對象的一門代數學科。它是以代數數論和代數幾何學為背景而產生與發展的，並為這兩個古老的數學分支提供了新的統一的工具。

18世紀末到19世紀中期，高斯和庫默爾等人在研究關於有理整數性質和方程的有理整數解的時候，把這些初等數論問題放在二次域、分圓域以及它們的代數整數環中進行考慮，經過戴德金和希爾伯特等人的抽象化和系統化，形成了研究代數數域和它的代數整數環的一個新學科，即代數數論。1882年戴德金提出的理想與素理想的概念為一維交換代數奠定了基礎。比數論稍晚些時候，幾何學也經歷了代數化的過程，多維交換代數開始在代數幾何中形成。從19世紀末開始，由於希爾伯特等人的工作，特別是20世紀20—30年代德國數學家A.E.諾特關於理想理論和克魯爾建立的賦值論、局部環理論和維數理論，為古典幾何提供了全新的代數工具。從此，交換代數成為一門獨立的學科。

20世紀50年代以後，交換代數得到很大發展，模論的研究，同調代數和各種上同調理論的建立，特別是法國數學家格羅唐迪克的概形理論，對於交換代數的發展起了巨大的推動作用。利用概形理論，比利時數學家德利涅於20世紀70年代初證明了著名的韋伊猜想。

現在，交換代數的運用，已深入到微分拓撲與代數拓撲、多複變函數論、奇點理論，甚至偏微分方程等學科。