梯度運算元

設某一給定正交坐標系的三個單位矢量為 ui ,而線元的平方可以表示為：ds 2 = gi dui2 ,那么體積元(其中 g = g1 g 2 g 3 )、dV = gdu1du2 du3。

基本介紹

• 中文名：梯度運算元
• 公式：ds 2 = gi dui2
• 取決於： 空間位置的一個量.
• 含義：標量場

場

這個在物理學中非常基本的概念.我們所說的場是指取決於 空間位置的一個量.

標量場

最可能簡單的一種物理場是標量場,所謂標量場,是指每點 僅有一個單獨數量——一個標量——所標誌的那種場. 當然這個數量還可隨時間 而變,不過眼下我們還無需為此操心.我們將只談論在某一特定時刻,場看來是 個什麼樣子.作為標量場的一個例子,你可以考慮一塊固體材料,其中某些地方 受熱而另一些地方受冷,使得該物體的溫度以一種複雜方式逐點改變.於是溫度 將是從某個迪卡爾坐標繫上量得的代表空間每一位置的函式. 可見溫度是一標量 場.另一個常見的例子則是勢場.

矢量場

還有一種場叫做矢量場, 意義也十分簡單. 就是在空間每一點給出一個矢量, 這個矢量逐點變化.作為一個例子,可考慮一個旋轉物體.在每點上物體中原子 的速度便是位置函式的矢量.作為第二個例子,考慮在一塊材料中的熱流.如果 某處的溫度高於另一處的,熱量就會從較熱處流至較冷處.在材料中的不同位置 熱量將朝不同的方向流動,這一熱流就是一個矢量場. 當然,類似的,你也可以給張量場下個定義.

劈形運算元，倒三角運算元（nabla）

是一個符號，形為∇。該名字來自希臘語的某種豎琴：納布拉琴。相關的辭彙也存在於亞拉姆語和希伯來語中。

另一個對於該符號常見的名稱是atled，因為它是希臘字母Δ倒過來的形狀。除了atled外，它還有一個名稱是del。

劈形運算元在標準HTML中寫為&nabla，而在LaTeX中為\nabla。在Unicode中，它是十進制數8711，也即十六進制數0x2207。

劈形運算元在數學中用於指代梯度算符，並形成散度、旋度和拉普拉斯運算元。它也用於指代微分幾何中的聯絡（可以視為更廣意義上的梯度運算元）。它由哈密爾頓引入。

微商

當場隨時間變化時,可通過給出場對時間的微商來加以描述.我們希望也按 同樣辦法來描述場對空間的變化, 因為對於例如或者相鄰兩點之間的溫度或者勢 能關係我們是感興趣的.

值得注意的是,對任一標量場,例如 φ ,其可能的微商 有三個: φx1 ,φ x2 和 φ x3 .由於有這三種微商,而我們又知道要形成一個矢量需要三個數量,也許這三個微商就是一個矢量的分量 ! 當然,一般並非任何三個數量都能構成為一個矢量的.只有當我們旋轉坐標 系,各個分量按照正確的方式變換時,這才成立.所以需要分析坐標系旋轉時, 這些微商是如何變換的.為此,我們採用一個新坐標系 xi′ 系中,微商變為 φ ′ 式法則,有= λij x j ,在這個坐標xi′ = φ xi′ ,這是因為 φ ′ xi′ 是一個標量.利用鏈φ x j φ = xi′ xi′ x j

(1)為了得到 x jxi′ 這個係數,我們寫出坐標變換的反變換 ′ x j = λkj xk

(2)並將其兩邊對 xi′ 求導數,得x j x′ = λkj k = λkjδ ik = λij xi′ xi′將它代入式(1),我們就得到了

(3)φ φ = λij xi′ x j這個式子說明( φx1 , φ x2 , φ x3 ) 是一個矢量.

上面的論證與我們究竟是在對哪一個標量場進行微分是沒有關係的.既然不 管我們對之進行微分的是什麼,那些變換公式都相同,那就可以略去 φ 而由一個 算符方程式來代替式(3):= λij xi′ x j在很多參考書上也將

(5)xi 用 i 來表示,即 i ≡ xi .這樣的記號寫起來更加簡單,而且在複雜的場合也不容易出錯.而目前,我們則可以利用它將上面的 變換關係可以寫得好看一些′ = λij j i

(6)由於這些微分算符本身就已如同一個矢量的分量那樣進行變換,我們便可以 稱之為一個矢量算符的分量,通常用符號 來表示這個矢量算符,即可以寫成≡ ( 1 , 2 , 3 )或者

(7)= xi i那當然就意味著其分量

(8)i = i

(9)順便提一句,在有關張量的現代處理中,我們正是把 i 這樣的微分算符看作矢 量基的.第 2 頁,共 7 頁

當 作用在標量函式或者矢量場上, 就是我們所熟悉的梯度, 散度以及旋度:grad φ = φ = ( iφ ) xi = div A = A = i Aif r

(10)curl A = × A = ( ε ijk j Ak ) xi值得注意的是,上面的式子中順序是很重要的,例如 A 是矢量場 A 的散度, 它是一個標量;而 A 並非一個數值,它仍然是某種算符.另外,這裡我還寫 出了標量場梯度的另一種表示方法,即 φ

= f r ,在分析力學部分我們會比較多的採用這個記法, 其好處在下面這樣一個簡單的例子中可見一斑. 設 粒子位矢 r 的函式,而 r 本身又是某個變數 q 的函式,現在我們要求 微商,根據鏈式法則,有f是f對q 的df f dx i = dq xi dq

而採用這裡的寫法,我們就可以將上式寫為

(11)df f dr = dq r dq這在涉及質點組問題時會帶來較大的方便.

不同坐標系中的梯度運算元

設某一給定正交坐標系的三個單位矢量為 ui ,而線元的平方可以表示為

ds 2 = gi dui2 ,那么體積元(其中 g = g1 g 2 g 3 )

dV = gdu1du2 du3

梯度運算元的作用則分別為

(A1)

f =1 f ui , gi ui gi g k Ak ui , g u j

A =1 g Ai g ui gi× A = ε ijk1 g f 2 f = g ui gi ui

(A2)

例如,對於柱坐標系有ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + dz 2即

(A3)

g rr = g zz = 1,因此,體積元為gθθ = r 2 ,g =r

(A4)

dV = gdrdθ dz = rdrdθ dz而

(A5)

f 1 f f θ+ z r+ r r θ z 1 f 1 2 f 2 f 2 f = + r + r r r r 2 θ 2 z 2 1 1 A A A = ( rAr ) + θ + z z r r r θ 1 Az Aθ Ar Az × A = r + z z r r θ f =Ar 1 θ + ( rAθ ) θ r r z

(A6)

而對於球坐標系,則有ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ d 2即

(A7)

g rr = 1,因此,體積元為gθθ = r 2 ,g = r 2 sin 2 θ ,g = r 2 sin θ

(A8)

dV = gdrdθ d = r 2 sin θ drdθ d而

(A9)

f =2f 1 f 1 f θ+ r+ r r θ r sin θ f 2 f 1 2 f 1 1 f = 2 r + sin θ + θ r 2 sin 2 θ 2 r r r r 2 sin θ θ 1 1 1 A A = 2 ( r 2 Ar ) + ( sin θ Aθ ) + r r r sin θ θ r sin θ × A = + 1 r sin θ 1 r sin θ Aθ θ ( sin θ A ) r

Ar 1 A sin θ ( rA ) θ + ( rAθ ) r r r r θ