坐標變換

坐標變換是空間實體的位置描述，是從一種坐標系統變換到另一種坐標系統的過程。通過建立兩個坐標系統之間一一對應關係來實現。是各種比例尺地圖測量和編繪中建立地圖數學基礎必不可少的步驟。兩個及以上的坐標轉換時由極坐標相對參照確定維數空間。

基本介紹

• 中文名：坐標變換
• 外文名：coordinate transform
• 所屬學科：數學
• 領域：幾何
• 基本變換：平移、變倍、旋轉 、切變、反射
• 研究空間：二維、三維

含義

坐標變換共有五種，除平移外均以坐標原點為基準點，即變換前後坐標原點不變。

下面給出五種基本變換的中英文名稱和矩陣描述。

基本變換

多維視圖

二維

1	0	0
0	1	0
x	y	1

三維

1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
x	y	z	1

變倍

scale

二維

x	0	0
0	y	0
0	0	1

三維

x	0	0	0
0	y	0	0
0	0	z	0
0	0	0	1

旋轉

rotate：以逆時針旋轉為例。則舊坐標到新坐標的變換矩陣為

二維

[cos(θ) sin(θ)]

[-sin(θ) cos(θ)]

三維

繞Z軸繞Y軸繞X軸

▏cos(θ) -sin(θ) 0 0▕ ▏cos(θ) 0 sin(θ) 0▕ ▏1 0 0 0▕

▏sin(θ) cos(θ) 0 0▕ ▏ 0 1 0 0▕ ▏0 cos(θ) -sin(θ) 0▕

▏ 0 0 1 0▕ ▏-sin(θ) 0 cos(θ) 0▕ ▏0 sin(θ) cos(θ) 0▕

▏ 0 0 0 1▕ ▏ 0 0 0 1▕ ▏0 0 0 1▕

切變

shear

二維

沿X軸沿Y軸

▏1 k 0▕ ▏1 0 0▕

▏0 1 0▕ ▏k 1 0▕

▏0 0 1▕ ▏0 0 1▕

三維

沿X軸 沿Y軸 沿Z軸

▏1 k l 0▕ ▏1 0 0 0▕ ▏1 0 0 0▕

▏0 1 0 0▕ ▏k 1 l 0▕ ▏0 1 0 0▕

▏0 0 1 0▕ ▏0 0 1 0▕ ▏k l 1 0▕

▏0 0 0 1▕ ▏0 0 0 1▕ ▏0 0 0 1▕

反射

reflect：反射變換的實質是負變倍，實際上叫做“鏡像”更為貼切。

二維

基於X軸 基於Y軸

▏1 0 0▕ ▏-1 0 0▕

▏0 -1 0▕ ▏0 1 0▕

▏0 0 1▕ ▏0 0 1▕

三維

基於Y-X平面 基於X-Z平面 基於Z-Y平面

▏1 0 0 0▕ ▏1 0 0 0▕ ▏-1 0 0 0▕

▏0 1 0 0▕ ▏0 -1 0 0▕ ▏0 1 0 0▕

▏0 0 -1 0▕ ▏0 0 1 0▕ ▏0 0 1 0▕

▏0 0 0 1▕ ▏0 0 0 1▕ ▏0 0 0 1▕

基於任意平面的坐標變換隻要將其看成兩個線性空間的映射即可

套用類型

平面解析幾何

在平面幾何學中，有直角坐標的平移和旋轉，還有極坐標與直角坐標之間的相互轉換。

直角坐標系中，坐標的平移，講究的是一個相對坐標和絕對坐標。坐標的平移，是由坐標軸的平移和轉動造成的。如果能弄清楚原坐標的移動距離、移動方向、轉過的角度（相對於原坐標移動之前）。那么所要求的坐標，也做原坐標同樣的變換就可以在新坐標中找到對應的位置。

地圖數學

在地理信息系統中，有兩種意義的坐標變換，一是地圖投影變換，即從一種地圖投影轉換到另一種地圖投影，地圖上各點坐標均發生變化；另一是量測系統坐標轉換，即從大地坐標系到地圖坐標系、數位化儀坐標系、繪圖儀坐標系或顯示器坐標系之間的坐標轉換。

測量

工程施工過程中，由於採用了不同的坐標系，需要不同坐標系之間的坐標變換。