坐標變換公式

坐標變換公式(formula of a coordinates transformation)是線性空間的向量關於不同基的坐標之間的關係式，是解析幾何中(不變原點的)坐標變換公式的推廣。

基本介紹

• 中文名：坐標變換公式
• 外文名：formula of a coordinates transformation
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等代數(線性空間)
• 簡介：解析幾何中坐標變換公式的推廣

基本介紹

設V是域P上n維線性空間，且ε₁，ε₂，…，ε_n與ε′₁，ε′₂，…，ε′_n皆是V的基，於是有：

ε′_i= a_jiε_j(i=1，2，…，n).

以ε′_i關於基ε₁，ε₂，…，ε_n的坐標(a_1i，a_2i，…，a_ni)為第i列構成的n階矩陣(a_ij)稱為由基ε₁，ε₂，…，ε_n到基ε′₁，ε′₂，…，ε′_n的過渡矩陣，若α∈V關於基ε₁，ε₂，…，ε_n與基ε′₁，ε′₂，…，ε′_n的坐標分別為(x₁，x₂，…，x_n)與(x′₁，x′₂，…，x′_n)，則其兩坐標間的關係，可由過渡矩陣(a_ij)表示為

上式稱為坐標變換公式。

坐標變換公式的證明

設和是線性空間V_n中的兩個基，並且

式(1)可表示為

即

其中

（（2）式中A應為A的轉置）式(1)或式(2)稱為基變換公式，矩陣A稱為由基到基的過渡矩陣。

注意：式(1)中各式的係數實際上是基向量在基下的坐標。

坐標變換公式及其證明：

定理1設V_n中一向量ξ在兩個基和下的坐標分別是和，若兩個基滿足關係式(2) ，則有坐標變換公式：

或

證明：因為

故由坐標的唯一性,得

或

反之，設是線性空間V_n的一個基，A是n階可逆矩陣，使得

成立，可以證明:是V_n的n個線性無關的向量,從而也是V_n的一個基。

證明若數使，

即

因為線性無關，故必有

但A可逆，即|A|≠0，齊次線性方程組AX=0只有零解，必有，線性無關。