Nabla 運算元

介紹

當套用於在一維域上定義的函式時，它表示其在微積分中定義的標準導數。當套用於場（在多維域上定義的函式）時，del可以表示標量場（或者有時是矢量場，如在Navier-Stokes方程式中）的斜率（局部最陡坡度），發散度的矢量場，或矢量場的旋度（旋轉），這取決於它的套用方式。

嚴格來說，del並不是一個特定的運算元，而是一個方便的使用的數學符號，這使得許多方程易於書寫和記憶。nabla算符可以解釋為向量的偏導數運算符，其三個可能的含義 - 梯度，散度和旋度 - 可以被正式地視為具有標量，點積和交叉乘積的乘積。詳細描述如下：

梯度：

散度：

旋度：

向量微分運算元，Nabla運算元（nabla operator），又稱劈形運算元，倒三角運算元，是一個微分運算元，符號為

。

其形式化定義為：

在n維空間中，分母dr為含n個分量的向量，因而

本身就是個n維向量運算元。

三維情況下，

，或者，

。

二維情況下，

，或，

。

作用於不同類型的量，得到的就是不同類型的新量：

直接作用於函式F(r)（不論F是標量還是向量）,意味著求F(r)的梯度，表示為：

（標量函式的梯度為向量，向量的梯度為二階張量……）；

與非標量函式F(r)由點積符號·連線，意味著求F(r)的散度，表示為：

；

與非標量（三維）函式F(r)由叉積符號×連線，意味著求F(r)的旋度，表示為：

。

Nabla運算元的名字來自希臘語中一種被稱為納布拉琴的豎琴。相關的辭彙也存在於亞拉姆語和希伯來語中。

該符號的另一常見的名稱是atled，因為它是希臘字母Δ倒過來的形狀。除了atled外，它還有一個名稱是del。

劈形運算元在標準HTML中寫為&nabla，而在LaTeX中為\nabla。在Unicode中，它是十進制數8711，也即十六進制數0x2207。

劈形運算元在數學中用於指代梯度算符，並形成散度、旋度和拉普拉斯運算元。它也用於指代微分幾何中的聯絡（可以視為更廣意義上的梯度運算元）。它由哈密爾頓引入。