哈密頓向量場

在數學與物理中，哈密頓向量場是辛流形上一個向量場，定義在任何能量函式或哈密頓函式上。以物理學家和數學家威廉·盧雲·哈密頓命名。哈密頓向量場是經典力學中的哈密頓方程的幾何表現形式，哈密頓向量場的積分曲線表示哈密頓形式的運動方程的解。由哈密頓向量場生成的流是辛流形的微分同胚，在物理中稱為典範變換，在數學中稱為（哈密頓）辛同胚。

哈密頓向量場可以更一般地定義在任何泊松流形上。對應於流形上的函式 f 與 g 的兩個哈密頓向量場的李括弧也是一個哈密頓向量場，其哈密頓函式由 g 與 f 的泊松括弧給出。

基本介紹

• 中文名：哈密頓向量場
• 外文名：Hamiltonian vector field
• 學科：物理

定義

假設 (M,ω) 是一個辛流形。因為辛形式ω 非退化，誘導了切叢與餘切叢 的一個線性同構

以及逆

從而，流形M上的1-形式可以與向量場等價起來，故任何可微函式 確定了惟一的向量場X_H= Ω(dH)，稱為哈密頓函式H的哈密頓向量場。即對M上任何向量場Y，等式

一定成立。

注：一些作者定義哈密頓向量場為相反的符號；需注意物理與數學著作的不同習慣。

例子

假設M是一個 2n維辛流形。則由達布定理，我們在局部總可以取M的一個典範坐標

在這個坐標系下辛形式表示為

則關於哈密頓函式H的哈密頓向量場具有形式

這裡 Ω 是一個 2n× 2n矩陣

性質

映射 線性的，所以兩個哈密頓函式之和變為相應的哈密頓向量場之和。

假設 是M上的典範坐標。則曲線 是哈密頓向量場X_H的積分曲線若且唯若它是哈密頓方程的一個解：

哈密頓函式H在積分曲線上是常數，這就是 與時間t無關。這個性質對應於哈密頓力學中的能量守恆。

更一般地，如果兩個函式F與H的泊松括弧為零（見下），則F沿著H的積分曲線為常數；類似地H沿著F的積分曲線是常數。這個事實是諾特定理背後的數學原理。

辛形式 在哈密頓流下不變；或等價地，李導數

這裡 是內乘，用到了李導數的嘉當公式。

泊松括弧

哈密頓向量場的概念導致了辛流形M上的可微函式的一個斜對稱雙線性運算元，這就是泊松括弧，由如下公式定義

這裡 表示沿著向量場X的李導數。此外，我們可以驗證有恆等式：

這裡右邊表示哈密頓函式g與g對應的哈密頓向量場的李括弧。作為一個推論，泊松括弧滿足雅可比恆等式。

這意味著M上可微函式組成的向量空間，賦予泊松括弧，是R上的一個李代數，且映射是一個李代數反同態，其核由局部常值函式組成（如果M連通則為常數）。