基本介紹
- 中文名：泊松括弧
- 外文名：Poisson bracket
- 套用範圍：數學及經典力學
- 提出者：泊松
- 實質：是哈密頓力學重要的運算
- 相關名詞：泊松定理
簡介,定義,性質,在量子力學中,
簡介
泊松括弧在量子力學中有很重要的作用。它與量子力學的聯繫最早是由狄拉克提出的，他發現量子力學中力學量的對易關係與經典力學中的泊松括弧非常相像，在這個基礎上，狄拉克創立了量子力學的符號法，根據這種類比，我們只要在下面所討論的力學量的運動方程左邊乘上一個因子
，就得到了量子力學的海森堡方程；只要在下面基本泊松括弧等號的右邊乘上一個相同的因子 ，就得到了量子泊松括弧（量子力學中將它稱為對易子）。
定義
法國科學家S-D泊松求解哈密頓正則方程時所用的一種數學符號，
，
定義為：
稱為f和H的泊松括弧（f和H的次序是很重要的）。式中f和H是2N個正則變數
的兩個任意函式。泊松栝號經正則變換
是不變的，即
正如我們所知，在體系運動過程中保持不變的力學變數稱為運動積分。從上面的方程可以看出，量f為運動積分（
）的條件可以寫為：
特別是，如果力學量f不明顯地依賴於時間
，那么這個條件就是
即運動積分與哈密爾頓函式的泊松括弧為零。以前我們要判斷一個力學量f是否是運動積分，一般需要先解出運動方程，得到
和
，然後把它們代入
中，才能看出f是否和時間無關。而現在，我們可以直接從f和H的關係判斷是否為運動積分。最簡單的例子是：若f就是H本身，顯然
，然後得到 哈密爾頓函式為運動積分的條件是
，這是我們早已熟悉的結論。
泊松括弧還有其它很重要的套用，在介紹它們以前，先來了解一下泊松括弧的性質會使我們的計算更加簡明。為此，把泊松括弧稍作推廣：任意兩個力學量f和g，其泊松括弧類似地定義為：
性質
從定義很容易導出泊松括弧具有以下性質。把兩個函式對調，泊松括弧改變符號（反對稱）；如果其中一個是常數c ，那么泊松括弧等於零：
其次還有（雙線性，因為對第一個力學量f也有類似的關係）：
另外還有（Leibniz 法則，這只是類似於微分的鏈式法則的一個不同稱呼而已）
如果 f 僅僅是q 或者僅僅是p的函式，那么由定義可直接得到：
如果函式 f 和g中有一個是坐標或動量，那么泊松括弧括弧簡化為偏導數：
第一個式子可以令
得到，此時由於
以及
，求和只有一項有貢獻。在上式中讓f等於
和
，我們可以得到：
泊松括弧的最後一個性質：
這個性質很容易從定義看出，不僅如此，如果你把上面對時間的偏導數換成全微商也是成立的，也就是說
這個關係可以利用 Jacobi 恆等式得到證明，這是因為：
而
最後一個等式用到了泊松括弧的反對稱性，將第一項展開並且作適當整理就得到
因此得證。
在量子力學中
泊松括弧在量子力學中用來表示兩個算符的對易關係乘上
（h是普朗克常數，
）。
例如對算符合
和
有：
，這樣，量子力學中對力學量
，上面⑨中的關係式依舊成立，即
，式中
是厄密算符。
