拉格朗日括弧

拉格朗日括弧法國數學家和力學家 J.-L.拉格朗日研究正則變換時所用的一種數學符號。拉格朗日括弧是一種與泊松括弧關係密切的運算，1808年至1810年間由約瑟夫·拉格朗日最早用於經典力學之中。不過與泊松括弧相比，拉格朗日括弧已不常使用。

基本介紹

• 中文名：拉格朗日括弧
• 外文名：Lagrange bracket
• 人物：J.-L.拉格朗日
• 類型：數學符號
• 參考書目：天體力學引論

定義

令(q₁, …,q_n,p₁, …,p_n)為相空間中的正則坐標，且每一個坐標都可表示為兩個變數u與v的函式，則u和v的拉格朗日括弧為：

性質

拉格朗日括弧與特定的正則坐標無關(q,p)。如取另一組正則坐標(Q,P)=(Q₁, …,Q_n,P₁, …,P_n)，滿足正則變換

此時拉格朗日括弧不變，即

因而通常情況下會省略下標。

如果2n維相空間W上有辛形式Ω，u₁,…,u_2n是W上的一個坐標系，那么正則坐標(q,p)可表示為u的函式，而拉格朗日括弧所組成的矩陣

表示Ω在坐標系u下的分量，可看作一個張量。這個矩陣是由泊松括弧所組成的矩陣

的逆矩陣。

由上述性質可以得到，相空間上的坐標(Q₁, …,Q_n,P₁, …,P_n)是正則的，若且唯若它們之間的拉格朗日括弧有如下形式：