正則變換

正則變換是由一組正則變數到另一組能保持正則形式不變的變數的變換。

在哈密頓力學里，正則變換（canonical transformation）是一種正則坐標的改變，(q,p)-->(Q,P)，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程與劉維爾定理的基礎。

基本介紹

• 中文名：正則變換
• 外文名：canonical transformation
• 套用學科：力學
• 適用領域範圍：天體力學
• 實質：保持正則形式不變的變數的變換
• 用途：用來尋找可略坐標

定義

點變換（point transformation）將廣義坐標變換成廣義坐標 ，點變換方程的形式為

其中，t是時間。

在哈密頓力學里，由於廣義坐標與廣義動量同樣地都是自變數（independent variable），點變換的定義可以加以延伸，使變換方程成為

其中， 是新的廣義動量。

為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為位形空間點變換，而後一種為相空間點變換。

在哈密頓力學里，正則變換將一組正則坐標 變換為一組新的正則坐標 ，而同時維持哈密頓方程的形式（稱為形式不變性）。原本的哈密頓方程為

新的哈密頓方程為

其中， 、 分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。

實際用處

思考一個物理系統的哈密頓量 。

假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標 無關，則稱 為可略坐標（ignorable coordinate），或循環坐標（cyclic coordinate）： 。

在哈密頓方程中，廣義動量對於時間的導數是 。

所以，廣義動量 是常數 。

假設一個系統里有n個廣義坐標是可略坐標。找出這n個可略坐標，則可以使這系統減少2n個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。

生成函式方法

• 主項目：正則變換生成函式
  

採取一種間接的方法，稱為生成函式方法，從 變換到。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理。

那么，必須令 ；

其中， 是標度因子，G是生成函式。

假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為標度變換（scale transformation）。一般而言，標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1，則稱此正則變換為延伸正則變換（extended canonical transformation）；假若標度因子等於1，則稱為正則變換。

任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個 的延伸正則變換表示為 。

則可以設定另外一組變數與哈密頓量： 、 、 、 ；其中， 是用來刪除 的常數， 。經過一番運算，可以得到

顯然地，這變換符合哈密頓方程。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。

假若正則變換不顯性含時間，則稱為設限正則變換（restricted canonical transformation）。

生成函式G的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函式。每一種基本生成函式設定一種變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 保證是正則變換。

第一型

第一型生成函式 只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關， 。

代入方程（1）。展開生成函式對於時間的全導數，

新廣義坐標 和舊廣義坐標 都是自變數，其對於時間的全導數 和 互相無關，所以，以下2N+1個方程都必須成立：

這2N+1個方程設定了變換 ，步驟如下：

第一組的N個方程（2），設定了 的 N個函式方程 。

在理想情況下，這些方程可以逆算出 的N個函式方程

第二組的N個方程（3），設定了 的N個函式方程 。

代入函式方程（5），可以算出 的N個函式方程

從2N個函式方程（5）、（6），可以逆算出2N個函式方程

代入新哈密頓量 的方程（4），可以得到

第二型

第二型生成函式 的參數是舊廣義坐標 、新廣義動量 與時間： ；

以下2N+1方程設定了變換 ：

第三型

第三型生成函式 的參數是舊廣義動量 、新廣義坐標 與時間： 。

以下2N+1方程設定了變換 ：

第四型

第四型生成函式 的參數是舊廣義動量 、新廣義動量 與時間： 。

以下2N+1方程設定了變換 ：

不變數

正則變換必須滿足哈密頓方程不變；哈密頓方程為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的不變數。辛條件不變數、基本泊松括弧不變數和泊松括弧不變數。