劉維爾定理

劉維爾（Liouville）定理是複變函數中的基本定理之一，其內容可簡單描述為“一個有界的整函式必是常函式"。

註：整函式為在有限複平面上解析的複函數。

基本介紹

• 中文名：劉維爾定理
• 外文名：Liouville's theorem
• 提出者：劉維爾（Joseph Liouville）
• 套用學科：複變函數
• 適用領域範圍： 

定理內容

如果整函式 在整個平面上有界，即對所有 滿足不等式 ，則 必為常數。

可簡單描述為：一個有界的整函式必是常函式。

註：(1) 定理內容在實數範圍內不成立；

(2) 定理的逆命題成立，即常數是有界常函式。

定理證明

設 是平面上任一點，對以 為中心，任意正數 為半徑的圓周，利用柯西不等式，得：

而且，由於 可以任意大，所以，必有 ，即 ，由於點 是任意的，故 必為常函式。

重要推論

一、逆否命題：非常數的整函式必無界。

二、若 為有界整函式，則：

(1) 的逆也為有界整函式

(2) ，

(3) 為常數

三、幾何意義

非常數整函式的值既不能全含於某一圓內，也不能全含於某一圓外。

套用

劉維爾定理作為複變函數的基本定理之一，有著廣泛的套用，可以直接或間接的證明推導出很多其他的定理：如代數學基本定理，複平面C上的最大模原理等等，是一種有效的證明手段。

例：設整函式且存在實數，使得，則為常數。

證明：∵為整函式

∴ 也為整函式

取：，則也為整函式

又∵

由劉維爾定理可知 為常數

∴也為常數，得證