哈密頓正則方程

哈密頓方程的推導

從拉格朗日力學開始，運動方程基於廣義坐標

而相應的廣義速度為

通過延伸記號的意義，我們將拉格朗日函式寫作

其中帶下標的變數視為所有N個該類型的變數。哈密頓力學的目標是用廣義動量（也稱為共軛動量）變數取代廣義速度。這樣一來，就可能處理特定的系統，例如量子力學的某些方面，否則其表述會更複雜。

對於每個廣義速度，有一個對應的共軛動量，定義為：

在直角坐標系中，廣義動量就是物理上的線性動量。在極坐標中，對應角速度的廣義動量就是物理上的角動量。對於廣義坐標的任意選取，可能不能找到共軛動量的直觀解釋。

在依賴於坐標的表述中不太明顯的一點是：不同的廣義坐標實際上無非就是同一辛流形的不同坐標表示。

哈密頓量是拉格朗日量的勒讓德變換：

若定義廣義坐標的變換方程和t無關，可以證明H等於總能量E=T+V.

的定義的每邊各產生一個微分：

把前面共軛動量的定義代入這個方程併合並係數，我們得到哈密頓力學的運動方程，稱為哈密頓方程：

哈密頓方程是一階微分方程，因而比拉格朗日方程容易解，因為那個是二階的。但是，導出運動方程的步驟比拉格朗日力學更繁瑣 - 從廣義坐標和拉格朗日量開始，必須先計算哈密爾頓量，用共軛動量來表達每個廣義坐標，然後將共軛動量代入哈密頓量。總之，用哈密頓力學來解決問題不比用拉格朗日力學簡單多少。最終，這會得到和拉格朗日力學和牛頓運動定律同樣的解。

哈密頓方法的主要優點在於它提供了經典力學理論的更深刻結果的基礎。