勒讓德變換

勒讓德變換（英語：Legendre transformation）是一個在數學和物理中常見的技巧，得名於阿德里安-馬里·勒壤得（Arien-Marie Legendre）。該操作是一個實變數的實值凸函式的對合變換。 它經常用於經典力學中，從拉格朗日形式導出哈密頓形式；以及在熱力學中，推導出熱力學勢，並求解多個變數的微分方程。

基本介紹

• 中文名：勒讓德變換
• 外文名：Legendre transformation
• 命名來源：阿德里安-馬里·勒壤得
• 套用：經典力學

概述

為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構，表述此系統的函式關係 改用一個新函式 來表示，其變數 是 的導數， 。而 的值是如右圖藍線在 y 軸的負截距

換句話說，從 x 值到 y 值的函式，轉換成 f(x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函式

這程式是由阿德里安-馬里·勒壤得所發明的，因此稱為勒讓德變換。稱函式 為 的勒讓德變換；

用方程表示

。

此式子表示 中的 u 對 而言是個參數，且參數 u 會滿足 的 。即求算表達式關於變數 的極值。

為方便討論，把討論限定在 為嚴格單調遞增。會有這方程是因為在 也就是斜率不變的狀況下，對每個 而言，所有與曲線 相交且斜率為 的直線族為 。若令 ，該直線即是 在 的切線方程。把x當作常數並由右圖直接觀察可知，在 的情況下， 值是最小的，也就是說直線方程中 這部分是最大的，而正好 ，正是原方程所求的極值。

勒讓德變換是點與線之間對偶性關係（duality）的一個套用。函式 設定的函式關係可以用 點集合來表示；也可以用切線(在嚴格單調遞增的討論下，切線跟導數p有一對一的關係)集合表示。

若將勒讓德變換廣義化，則會變為勒壤得-芬伽轉換（Legendre-Fenchel transformation）。勒讓德變換時常用於熱力學與哈密頓力學。

定義

最大值式定義

更詳細地定義勒讓德變換，為了求得 關於 的最大值，設定 關於{\displaystyle x\,\!}的偏導數為零：

。

則

。(1)

這表達式必為最大值。因為，凸函式 的二階導數是負數：

；

用方程 (1) 來計算函式 的反函式 。代入 方程，即可以得到想要的形式：

。

計算 的勒讓德變換，所需的步驟為：

找出導函式 ，

計算導函式 的反函式 ，

代入 方程來求得新函式 。

這定義切確地闡明：勒讓德變換製造出一個新函式 ；其新自變數為 。

反函式式定義

另外一種勒讓德變換的定義是：假若兩個函式 與 的一階導數是互相的反函式；

，

或者，

，

則 與 互相為彼此的勒讓德變換。

依照定義，

，

。

思考下述運算：

。

所以，

；

這裡， 。

這答案是標準答案；但並不是一個答案。設定

，

也可以滿足定義的要求。在某些情況下（例如：熱力勢（thermodynamic potential），會採用非標準的答案。除非另外註明，此頁面一律採用標準答案。

套用

熱力學

在熱力學里，使用勒讓德變換主要的目的是，將一個函式與所含有的一個自變數，轉換為一個新函式與所含有的一個新自變數，（此新自變數是舊函式對於舊自變數的偏導數）；將舊函式減去新自變數與舊自變數的乘積，得到的差就是新函式。勒讓德變換可以用來在各種熱力勢（thermodynamic potential）之間作轉換。例如，內能是外延量（extensive）熵，體積，與化學成分（chemical composition） 的顯函式

。

對於 ，函式 （非標準的）勒讓德變換為焓函式 ：

，

。

一個熵與內含量（intensive）壓力的函式。當壓力是常數時，這函式很有用。

對於 ，函式 勒讓德變換為吉布斯能函式 :

，

。

對於 ，函式 勒讓德變換為亥姆霍茲自由能函式 :

，

。

這些自由能函式時常用在常溫的物理系統。

經典力學

在經典力學里，勒讓德變換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述，或反導之。拉格朗日量是廣義坐標與廣義速度的函式；而哈密頓量將函式的自變數轉換為廣義坐標 與廣義動量：

，

。

正則變換

正則變換廣泛地套用勒讓德變換在其理論里。正則變換是一種正則坐標的改變， ，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程為

，

，

；

這裡， 是舊正則坐標， 是新正則坐標， 是舊哈密頓量， 是新哈密頓量， 是生成函式。