理論物理 / 理論力學 / 分析力學中的概念，對應英文名為Routhian（或Routhian equation，Routhian function），由英國數學家Edward John Routh（1831-1907）創立。
The Routhian is the function which replaces both the Lagrangian and Hamiltonian functions.（直譯：羅斯函式是一種替換了拉格朗日函式與哈密頓函式二者的函式。）
力學系統的狀態一般可以用廣義坐標q(t)、廣義速度q·（表示廣義坐標對時間的導數dq/dt）、時間t的一個確定的函式L(q, q·, t)來描述，L被稱作給定系統的拉格朗日函式；也可以用廣義坐標q、廣義動量p（相應於q的）、時間t的一個確定的函式H來描述，H(p, q, t)被稱作哈密頓函式。兩組變數之間的變換可以通過勒讓德變換得到。對於具有s個自由度的系統，其廣義坐標、廣義速度、廣義動量的個數均為s，L與H則分別包含2s+1個變數。（各函式變數均省略了下標i，i = 1, 2, ... , s）
現假設該力學系統具有s = s1 + s2個自由度，其狀態用s1個廣義坐標ξ、廣義速度ξ·，s2個廣義坐標q、廣義動量p，以及時間t的函式R來決定R(q, p, ξ, ξ·, t)即為羅斯函式。
基本介紹
- 中文名：羅斯函式
- 外文名：Routhian
- 英文縮寫：R
- 提出者：Edward John Routh
- 外文別名1：Routhian function
- 外文別名2：Routhian equation
定義,推導,性質,套用,
定義
羅斯函式定義為：R=pq·-L。
推導
為了簡化公式，首先假設僅有兩個廣義坐標，用q和ξ表示，現進行從q, ξ, q·,ξ·到q, ξ,p,ξ·的變換，其中p為相應於廣義坐標q的廣義動量。
拉格朗日函式L(q,ξ,q·,ξ·)的微分為
dL = (∂L/∂q)dq +(∂L/∂q·)dq·+(∂L/∂ξ)dξ- (∂L/∂ξ·)dξ·=p·dq+q·dp+ (∂L/∂ξ)dξ + (∂L/∂ξ·)dξ·
由此可得
d(L - pq·) = p·dq-q·dp+ (∂L/∂ξ)dξ + (∂L/∂ξ·)dξ·
如果定義羅斯函式為
R(q,p,ξ,ξ·) =pq·-L
式中的速度q藉助方程用廣義動量p表示，則羅斯函式的微分為
dR = - p·dq + q·dp -(∂L/∂ξ)dξ -(∂L/∂ξ·)dξ·
由此可得以下性質
性質
羅斯函式的微分為：(以下各式中所有的 · 均表示對其前面的變數求時間導數，並非乘號。且以下所有的公式均可以推廣到有多個坐標 q 和 ξ 的情況，此處省略了表示自由度的下標 i )
dR = -p·dq + q·dp - (∂L/∂ξ)dξ - (∂L/∂ξ·)dξ·
由此可得
方程1： q·=∂R/∂p ， p·= -∂R/∂q
方程2： ∂L/∂ξ = - ∂R/∂ξ ， ∂L/∂ξ· = - ∂R/∂ξ·
將方程2代入拉格朗日方程可得
方程3：d(∂R/∂ξ·) / dt =∂R/∂ξ
可見，羅斯函式對於坐標q是哈密頓函式（方程1），對於坐標ξ是拉格朗日函式（方程3）。
根據一般定義，系統的能量為
方程4：E =q·∂L/∂q· +ξ·∂L/∂ξ· - L =pq· + ξ·∂L/∂ξ· - L
將羅斯函式定義式與方程2代入，能量可以用羅斯函式表示為
E =R -ξ·∂R/∂ξ·
套用
套用羅斯函式可能是非常方便的，特別是存在循環坐標的時候。如果q是循環坐標，則它不顯含在拉格朗日函式中，因而不顯含於羅斯函式，所以羅斯函式僅是p,ξ,ξ·的函式，而相應於循環坐標的廣義動量p為常數（也可從方程1中的後式得出，從這個意義上講，方程1不能給出任何新的結果）。將p替換為給定常數後，方程3成為僅包含坐標ξ的方程，循環坐標被完全消去。如果這些方程可以求解並得到函式 ξ(t) ，則將其代入方程
q· =∂R(p, ξ, ξ·) / ∂p
的右端，可以直接積分求出函式q(t)。
