基本介紹
- 中文名：支撐函式
- 外文名：support function
- 學科：數學
- 屬性：描述了支撐原始集的超平面的距離
- 性質：唯一確定封閉凸集
- 相關名詞：閔可夫斯基加法
簡介,定義,舉例,屬性,作為x的函式,作為A的函式,
簡介
在數學中，
中的非空閉合凸集A的支撐函式
描述了支撐原始集A的超平面的距離。 支撐函式是 上的凸函式。 任何非空的封閉凸集A由 唯一確定。 此外，作為集合A的函式的支撐函式與許多幾何操作相兼容，例如縮放，平移，旋轉和閔可夫斯基加法。 由於這些屬性，支撐函式是凸幾何中最重要的基本概念之一。
定義
支撐函式
中的非空封閉凸集A由下式確定：
並且在這個半空間的邊界中至少有一個A點
因此，超平面
稱為具有外部（或外部）單位法向量x的支撐超平面。 外部這個詞在這裡很重要，因為x的方向起作用，所以集合 通常不同於
。 現在
是 與原點的（有符號）距離。
舉例
A = {a}的支撐函式是
。
歐幾里得單位球B1的支撐函式是
。
如果A是具有端點-a的原點的線段，則A是
。
屬性
作為x的函式
緊湊凸集的支撐函式是實值和連續的，但是如果集合是無界的，則其支撐函式被擴展為實值（它的值為
）。 由於任何非空閉合凸集是其支撐半空間的交集，所以函式 唯一地確定A。 這可以用於分析描述凸集的某些幾何屬性。 例如，如果且僅 是偶函式，則集合A相對於原點是點對稱的。
一般來說，支持功能是不可區分的。 然而，定嚮導數存在並產生支持集的支持功能。 如果A是緊湊且凸的，並且
表示方向x上u≠0的 的方嚮導數，我們有
這裡
是上面定義的具有外部法向量u的A的支撐超平面。 如果
是單例
，則說明支撐函式在u處是可微分的，其梯度與y重合。 相反，如果 在u是可微分的，則 是單例的。 因此，若且唯若A嚴格為凸（A的邊界不包含任何線段）時， 在所有點u≠0時是可微分的。
它的定義直接遵循支持函式是正同質的：
和
因此， 是凸函式。 在凸幾何中，這些屬性表征支撐函式是至關重要的： 上的任何正齊次、凸實值函式是非空緊湊凸集。 已知有幾個證明，一個正在使用的事實是，正均勻、凸實值函式的勒讓德變換是緊湊凸集的（凸）指標函式。
許多作者將支撐函式限制在歐幾里德單位球體上，並將其視為Sn-1的函式。 均勻性屬性表明，這個限制確定了如上定義的 上的支撐函式。
作為A的函式
擴展集合的支持函式與原始集合A密切相關：
和
後者概括為
其中A + B表示閔可夫斯基總和：
兩個非空緊湊凸集A和B的豪斯多夫距離
可以用支持函式來表示，
作為集合A的函式的支撐函式的屬性有時被總結為說
將非空緊湊凸集的集合映射到 在正均勻延伸為凸的球體上的所有實值連續函式的錐。 稍微濫用術語，
有時被稱為線性，因為它尊重閔可夫斯基加法，儘管它不是線上性空間上定義的，而是在非空緊湊凸集的（抽象）凸錐上。 映射是具有豪斯多夫度量的錐體之間的等距，並且具有均勻範數的Sn-1上的連續函式族的子像素。
