希爾伯特轉換

在數學和信號處理中，希爾伯特變換（Hilbert transform）是一個對函式產生定義域相同的函式的線性運算元。

基本介紹

• 中文名：希爾伯特轉換
• 外文名：Hilbert transform
• 領域：數學與信號處理
• 命名人物：大衛·希爾伯特

概述

在數學和信號處理中，希爾伯特變換（Hilberttransform）是一個對函式u(t)產生定義域相同的函式H(u)(t)的線性運算元。

希爾伯特變換在信號處理中很重要，能夠導出信號u(t)的解析表示。這就意味著將實信號u(t)拓展到複平面，使其滿足柯西－黎曼方程。例如，希爾伯特變換引出了傅立葉分析中給定函式的調和共軛，也就是調和分析。等價地說，它是奇異積分運算元與傅立葉乘子的一個例子。

希爾伯特變換最初只對周期函式（也就是圓上的函式）有定義，在這種情況下它就是與希爾伯特核的卷積。然而更常見的情況下，對於定義在實直線R（上半平面的邊界）上的函式，希爾伯特變換是指與柯西核卷積。希爾伯特變換與帕利-維納定理有著密切的聯繫，帕利-維納定理是將上半平面內的全純函式與實直線上的函式的傅立葉變換相聯繫起來的另一種結果。

希爾伯特變換是以大衛·希爾伯特來命名的，他首先引入了該運算元來解決全純函式的黎曼–希爾伯特問題的一個特殊情況。

歷史

希爾伯特變換產生於希爾伯特1905年關於黎曼有關分析函式的問題，後來被稱為黎曼-希爾伯特（Riemann-Hilbert）問題。希爾伯特的工作主要是關於圓上定義函式的希爾伯特變換。他早些時候與離散希爾伯特變換有關的工作可以追溯到他在哥廷根給的講座。結果後來由HermannWeyl在他的博士論文中發表。舒爾對希爾伯特關於離散希爾伯特變換的結果進行了改進，並將它們擴展到整數情況。在1928年，馬塞爾·里斯斯證明，希爾伯特變換可以被定義u在LP(R)(1≤p<∞)，即希爾伯特變換是有界運算符上LP(R)(1≤p<∞)，和對於圓上的希爾伯特變換以及離散希爾伯特變換（Riesz1928），也有類似的結果。希爾伯特變換是一個激勵的例子安東尼Zygmund和阿爾貝托·卡爾德龍在他們的奇異積分研究。他們的調查在現代諧波分析中發揮了重要作用。希爾伯特變換的各種推廣，如雙線性和三線性希爾伯特變換，仍然是當今研究的活躍領域。

定義

u的希爾伯特變換可以認為是u(t)與函式h(t)=1/(πt)的卷積。由於h(t)是不可積的，定義卷積的積分不收斂。因而希爾伯特變換是使用柯西主值（這裡記為p。v。）定義的。準確說來，函式（或信號）u(t)的希爾伯特變換是：

假設此積分作為主值存在。這就是u與緩增分布p。v。1/πt的卷積。另外，通過改變變數，主值積分可以顯式地寫為：

若希爾伯特變換接連用在函式u上兩次，結果就是負u：

假設定義兩次疊代的積分都收斂。特別地，逆變換是−H。可以通過考慮u(t)的傅立葉變換的希爾伯特變換效應看出這一事實（參見下面的與傅立葉變換的關係）。

對上半平面的解析函式，希爾伯特變換描述了邊界值的實部與虛部之間的關係。也就是說，如果f(z)是在Imz>0平面內的解析函式，而u(t)=Ref(t+0·i)，假設希爾伯特變換存在，則Imf(t+0·i)=H(u)(t)取決於一個相加性常數。

特性

邊界

若1<p<∞，則L(R)之希爾伯特變換為一有界運算元，表示存在一常數C_p使得

對所有u∈L(R)。這個定理由Riesz(1928)所推得。最佳常數C_p可由下列算式得到：

這個結果由（Pichorides1972）所推得。上述最佳常數計算方式套用在周期性希爾伯特變換一樣成立。

希爾伯特變換的邊界指的是L(R)對稱級數運運算元對於在L(R)之中f的收斂

反自伴性

希爾伯特變換為一反自伴運算元，連結L(R)與其對偶空間L(R)，其中p和q為赫爾德共軛且1<p，q<∞。以符號表示

對u∈L(R)且v∈L(R)（Titchmarsh 1948）。

逆變換

希爾伯特變換為一反-對合（Titchmarsh 1948），意即

假定每一變換皆完整定義過。由於H保存了L(R)空間，這特別代表希爾伯特變換在L(R)上是不可逆的，且

微分

正式上，一個式子其希爾伯特變換的微分即為其微分的希爾伯特變換，意即這兩者是可以交換的線性運算元

此一特性亦可疊代

給定u以及其前k次微分皆屬於L(R)（Pandey 1996）空間，此項論述為嚴格成立。在頻域上可以輕易驗證這件事情，由於微分在頻域上即為與ω之乘積。

卷積

希爾伯特變換可表示為與一緩增分布之卷積（Duistermaat&Kolk 2010）

因此可如此表示

然而，事前此特性可能只有對緊支撐之分布u定義。由於緊支撐函式在L上是稠密的，因此此項特性可能嚴格成立。另一角度來看，也可使用h(t)其微分之特性來證明

在大部分的用途，希爾伯特變換可被視為是一卷積。舉例而言，卷積與希爾伯特變換具備下列可交換的特性

若u和v為緊支撐分布，則此項論述嚴格成立，在這個狀況下

不變性

希爾伯特變換在空間L(R)上有下列特性

• 可與運算元T_aƒ(x)=ƒ(x+a)交換，對所有實數a
  
• 可與運算元M_λƒ(x)=ƒ(λx)交換，對所有λ>0
  
• 可與鏡射Rƒ(x)=ƒ(−x)反交換
  

實際上，有更大一部分的運算元可與希爾伯特變換交換。群組SL(2，R)由么正算符U_g可在空間L(R)上由以下式子表示

頻率回響

希爾伯特變換之頻率回響由傅立葉變換給出：

其中

是傅立葉變換，

i(有時寫作j)是虛數單位，

是角頻率，以及

即為符號函式。

既然：

希爾伯特變換會將負頻率成分偏移+90°，而正頻率成分偏移−90°。

反（逆）希爾伯特變換

我們也注意到：。因此將上面方程式乘上，可得到：

從中，可以看出反（逆）希爾伯特變換