數學上的Sgn 函式返回一個整型變數,指出參數的正負號。語法Sgn(number), number 參數是任何有效的數值表達式。返回值如果 number 大於0,則Sgn 返回1;等於0,返回0;小於0,則返回-1。number 參數的符號決定了Sgn 函式的返回值。
基本介紹
定義,性質,特性,套用,
定義
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符號函式(signum)可由階躍信號得來。對於符號函式在跳變點可以不予定義,或規定sgn(0)=0。
顯然,可以用階躍信號來表示符號函式:
sgn(x)=2u(t)-1
即 x>0,sgnx=1
x=0,sgnx= 0
x<0,sgnx=-1
性質
用艾佛森括弧定義:
x= (sgn x) | x|若x不為零,可以由上式得出符號函式的另一個定義:
sgn(x)=x/|x|
符號函式是絕對值函式的導數:
d|x|/dx=x/|x| 除了在0,符號函式可微分,其導數為0。透過一般化微分概念,可以說符號函式是狄拉克δ函式的兩倍:
dsgn(x)/dx=2δ(x) 它和單位步階函式的關係:
sgn x= 2H1 / 2(x) − 1
特性
- 其定義域為R,值域為{-1,0,1};
2.有唯一的跳躍間斷點x=0;
3.單調性:它是不嚴格遞增的非周期函式;
4.奇偶性:由
可知它在定義域R內是奇函式;
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5.可導性:它在非原點處都可導,且導數為0;
6.它在
上沒有原函式;
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7.它在任意區間
上都Rieman可積;
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8.
。
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套用
- 可用於說明可積函式不一定存在原函式
由於x=0是y=sgn(x)的唯一跳躍間斷點,故在任何以x=0為內點的區間上,sgn(x)不存在原函式。而在任
何以閉區間[a,b]上Rieman可積,且
,在x=0處
不可導,F(x)並不是
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不蘊含的關係,還可以作為原函式存在定理中條件f(x)在[a,b]上連續不滿足時,結論不成立的反例,強調條件
不可缺少而引起重視。
2.用於簡化帶絕對值函式積分的計算
對含有絕對值的函式 ,可先把絕對值去掉化為分段函式求解 ,也可以用一種更為簡單的求解方法 ,就是引入
符號函式來簡化積分的運算。
例:
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符號函式在積分過程中可視為常數係數,是解題過程簡化。因此對於一些含有絕對值的函式可用此法解決。