奇異積分

奇異積分(singular integral)為一數學名詞,是諧波分析的核心,也是傅立葉分析的中心概念,和偏微分方程的研究有密切關係。廣義而言,奇異積分是一個積分運算元。

基本介紹

  • 中文名:奇異積分
  • 外文名:singular integral
  • 領域:數學
  • 套用:諧波分析
  • 定義:積分運算元
定義,卷積類型的奇異積分,非卷積型的奇異積分,

定義

奇異積分是指以下的積分變換
其中核函式
沿對角線
時是奇異的,而且當
趨近0時,使得
的大小漸近趨近
具體而言,奇點是這樣的
是大小
漸近為
。因為這樣的積分通常不可能是絕對可積的,所以嚴格的定義必須把它們定義為積分的極限
,但實際上這是一個技術性問題。通常需要進一步的假設來獲得結果,例如它們在
上的有界性

卷積類型的奇異積分

卷積類型的一個奇異積分是一個運算符
,它是通過在核心
上進行卷積來定義的,這個核心在
上是局部可積的,
    假設核心滿足:
    1.
    傅立葉變換大小條件
    2.平滑度條:對於一些C> 0,
    那么可以證明
    上有界並且滿足弱類型(1,1)估計。
    屬性1.需要確保卷積與溫和分布
    由主值積分給出

    L上的一個明確的傅立葉乘子。性質1或2都不容易驗證,並且存在各種充分條件。通常在應用程式中,也有一個取消條件
    這是很容易檢查。例如,如果K是一個奇數函式,它是自動的。如果,另外,假設2和以下大小條件
    那么可以表明平滑條件。原則上也經常難以檢查,可以使用以下K的充分條件:
    注意到這些條件對於Hilbert和Riesz變換是滿足的,所以這個結果是這些結果的延伸。

    非卷積型的奇異積分

    如果
    關聯到Calderón-Zygmund核心
    ,則
    是一個非卷積型奇異積分運算元,

    每當fg平滑並且有不相關的支持時。這樣的操作符不需要在L上有界

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