奇異積分的交換子，調和分析中典型的一類非卷積運算元。設T1，T2是兩個運算元（一般說來，設它們的作用次序是不可交換的，即T1T2 T 2 T 1），定義 T 1與 T 2 的 交換子為 T 1 T 2－ T 2 T 1，記為[ T 1， T 2]，即 [T1，T2]＝T1T2-T2T1。 如果在 L 2( R)中取 T 1＝ A為用函式 A( x)作乘法 的運算元，即 A( f)( x)＝ A( x) f( x)，取 T 2為 奇異 積分即希爾伯特變換 H或它與微分運算元 的整數次冪 的乘積，這時所得到 的 交換子稱為 奇異 積分 的 交換子。例如， C 1( f)=[ A， DH] f就是一個 奇異 積分 的 交換子。形式地在 積分號下取微商，得到 注意到 H是 L 2有界 的，容易猜測：只要 A′( x)∈ L ∞，即 本性有界， C 1( f)對 f來說是 L 2到 L 2有界 的。但由於這個運算元不是卷積運算元，這個猜測較難驗證。直到1965年才被A.P.考爾德倫用複雜 的複分析技巧加以證明。對 D n H，與 A作 n次 的 交換子運算，便得到高階 奇異 積分 的 交換子（省略一個常數因子） 考爾德倫 的方法不適用於高階 的情形。1975年R.考伊夫曼與Y.邁耶用實分析 的方法證明了：若 A′( x)∈ L ∞，則 C n( f)是 L 2到 L 2 的有界運算元。1982年他們與A.麥金托什合作，通過對 C n( f) 的運算元模作精確 的估計，證實了關於李普希茨曲線上柯西 積分運算元 的考爾德倫猜想：若 A′∈ L ∞，則定義在複平面 的李普希茨曲線 z( x)＝ x+ i A( x)上 的柯西 積分運算元 是 L 2到 L 2有界 的。
基本介紹
- 中文名：奇異積分的交換子
- 定義：調和分析中的非卷積運算元
奇異積分交換子的研究，與BMO（有界平均振動）函式有密切聯繫（見BMO空間）。例如，1976年R.R.科伊夫曼、R.羅奇伯格與G.韋斯證明了，最簡單的奇異積分的交換子 對 f來說是 L 2到 L 2有界 的充分必要條件是 A為BMO函式，並且 交換子 的運算元模與 A 的BMO模 的大小是差不多 的。 奇異積分交換子的結果與方法，在調和分析、偏微分方程與非線性分析中有著愈來愈廣泛的套用。由於它不是卷積運算元，因此，許多古典調和分析的技巧不能直接套用，需要尋求新的方法。
