《調和分析中離散化類似的若干問題》是依託廈門大學，由伍火熊擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：調和分析中離散化類似的若干問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：伍火熊
- 依託單位：廈門大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究奇異拉東變換、球面極大運算元、多線性極大運算元的離散化運算元及其變差運算元的若干調和分析問題. 主要研究內容為：離散奇異拉東變換和撓曲離散奇異拉東變換的(p, p)有界性與端點估計；離散球面極大運算元的加冪權(p, p)有界性和加冪權端點估計，並探討其加冪權端點外估計；離散拋物平均運算元族、離散拋物Hilbert變換運算元族、離散球面平均運算元族和一般離散奇異拉東變換運算元族對應的變差運算元的(p, p)有界性及加權估計和端點估計；離散多線性極大運算元的有界性和端點正則性估計；多線性分數次極大運算元的正則性及其離散運算元的有界性和端點正則性. 這些問題來源於調和分析，並與遍歷理論、周期函式的偏微分方程理論、Fourier級數的收斂性和數論及鞅論等研究領域有著密切聯繫，其結果將豐富和完善奇異積分理論和極大函式理論，在上述相關研究領域有著重要套用. 這些問題的處理涉及調和分析方法和數論中的一些技巧的巧妙結合.
結題摘要
以奇異積分運算元為核心的各類調和分析運算元在函式空間的有界性研究一直是現代調和分析的中心內容之一，自上世紀九十年代以來其離散化類似也逐漸成為調和分析的研究熱點，不僅處理方法有別於連續情形，其結果也可能與連續情形有著本質不同。本項目主要研究離散奇異拉東變換、離散極大運算元和多線性極大運算元、粗糙核奇異拉東變換及相關運算元、振盪與變差運算元在函式空間的有界性，也涉及奇異積分交換子的有界性與緊性、模空間的插值與嵌入理論及在積分方程解的性態研究，取得了如下主要研究成果：(1). 建立了離散奇異拉東分數次積分運算元的lp-lq有界性，給出了離散分數次積分加權lp-lq有界性的sharp指標刻畫特徵；(2). 建立了離散中心與非中極大運算元和分數次極大運算元在端點空間l1與BV空間的有界性與連續性，離散中心與非中心多線性極大與分數次極大運算元由乘積l1空間到BV空間的有界性與連續性，以及相應於奇異拉東變換的Hary-Littlewood型極大運算元在Triebel-Lizorkin空間的有界性與連續性；(3). 在滿足相當弱的徑向尺寸條件和球面尺寸條件下，建立了粗糙核奇異拉東變換及相應的截斷極大運算元和Marcinkiewicz運算元（包括沿Van der Corput曲線、多項式複合曲線，多項式複合映射、齊性映射及複合映射等）在Lebesgue空間、Tirebel-Lizorkin空間及Besov空間的有界性；(4). 建立了奇異積分及其交換子運算元簇（包括相應於Schrodinger運算元與Bessel運算元的熱半群、Poisson半群運算元與Riesz變換運算元）的振盪與變差運算元在Lebesgue空間、Morrey空間及加權空間的有界性；(5). 建立了Riesz變換與Riesz位勢交換子在加權Lebesgue空間緊性、Bessel環境下的Riesz變換交換子在Lebesgue空間的緊性、雙線性分數次積分交換子在加權Morrey空間的緊性等的刻畫特徵，給出了雙線性Fourier交換子及粗糙核Marcinkiewicz交換子緊性的充分條件； (6). 完整地建立了模空間的復插值理論，給出了加權模空間中乘積不等式及Young不等式成立的充分必要條件，完整地建立模空間與經典函式空間之間的嵌入理論；(7). 系統地研究了幾類積分方程的正解性態，給出了其正解的徑向對稱性、單調性、最優可積區間和漸近性態等。
