《簡化Ericksen-Leslie系統和修正雙分支Camassa-Holm系統整體解的研究》是依託湖南師範大學，由譚文科擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：簡化Ericksen-Leslie系統和修正雙分支Camassa-Holm系統整體解的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：譚文科
- 依託單位：湖南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究兩類重要的發展方程:簡化的Ericksen-Leslie系統和修正雙分支Camassa-Holm系統。對於簡化的Ericksen-Leslie 系統，我們主要研究其整體解的存在性和解的正則性。所用的方法主要有弱收斂方法，Littlewood-Paley 理論，奇異積分及交換子估計。結合局部能量不等式和弱收斂方法對該系統研究是一種新的嘗試。 對於修正雙分支Camassa-Holm系統，我們主要研究其整體弱解的局部正則性和唯一性。對於這些問題的研究我們所用的方法包括傳統的加符號條件分析和構造度量方法以及我們採用的局部正則性提升結合弱強唯一性思想的新方法。
結題摘要
液晶的運動主要由巨觀的速度和分子的微觀定向來描述，該運動方程反應了巨觀和微觀的聯繫和相互作用。液晶模型是複雜流體中比較有代表性的方程組。從數學結構來看該方程組是Navier-Stokes方程組和調和映照熱流的耦合，對該方程的研究有助於理解幾何上具有重大意義的模型。當振幅相對於波長很小的情況下，水波的流動都可以用淺水波模型來描述。由於水流的複雜性，在過去的200年儘管淺水波理論有極大的進展，然而淺水波理論的研究還是非線性分析中的一個熱點問題。本項目主要想研究簡化液晶模型弱解的整體存在性和奇異點的的性質以及修正雙分支Cammassa-Holm方程組解的整體存在性和正則性，以及與這些方程密切相關的模型和物理現象。 我們的結果主要和液晶模型的研究密切相關。雖然液晶模型的弱解整體存在性已經被其他作者研究解決，但是該方程的弱解有奇異性。我們主要對該簡化方程的奇異點做了數量上的估計。我們還研究了最近比較引人注目的Ghost effect 系統。該系統和液晶方程組具有很類似的非線性結構，而且有自己獨特的特徵。對該系統的研究有助於我們對液晶系統的理解，並且能夠對一些反常的物理現象如“熱蠕現象”(該現象不能由經典的流體方程Navier-Stokes方程和Euler方程描述)在數學上給予嚴格的證明。我們通過對該系統的研究首次證明了“熱蠕現象”（流體從低溫處流向高溫處的反常現象）是由邊界效應和溫度的梯度驅動的。證明了二維情形下，具有大震盪初始溫度的整體強解的存在性，建立了三維Ghost effect 系統的爆破準則，證明了一維和球對稱整體經典解得存在性。這些結果對Ghost effect系統的研究都具有重要的意義。
