《振盪Calderon交換子的有界性及其套用》是依託中國科學院大學，由燕敦驗擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：振盪Calderon交換子的有界性及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：燕敦驗
- 依託單位：中國科學院大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
調和分析中的Radon變換在醫學中的CT技術中有重要套用, 而與Radon變換有密切關係的一類帶多項式相位的振盪奇異積分是由美國科學院院士、Wolf獎得主E.M.Stein等人率先提出的。此後,Stein及Fields 獎得主 T.Tao等人分別研究了振盪奇異積分運算元的有界性問題。 Calderon交換子是Calderon於1965年為研究奇異積分運算元代數時引入的。由於Calderon交換子與PDE、Cauchy積分等問題有密切關係，因此，Calderon、Coifman和Meyer 等人均系統地研究了Calderon交換子有界性問題。Calderon交換子所對應的振盪積分的有界性、有界性的判定準則，以及這類運算元在PDE中的套用正是本項目研究的核心內容。此外， 廣義函式的Calderon交換子及其套用和非卷積型Calderon-Zygmund奇異積分運算元的有界性也是我們的研究內容。
結題摘要
本項目重點研究了調和分析中的三個方面的問題。第一、關於振盪積分運算元有界性的研究。振盪奇異積分是由美國科學院院士、Wolf獎得主E.M.Stein等人率先提出的, Stein及Fields 獎得主 T.Tao等人分別研究了振盪奇異積分運算元的有界性問題。眾所周知，雙線性Hilbert變換有界性是由大數學家Calderon在研究Calderon交換子時提出的一個著名猜想。T.Tao等人證明了振盪雙線性Hilbert變換有界性。在T.Tao等人的工作基礎上，我們給出了雙線性振盪Hilbert變換有界性的判定準則的刻畫, 即, 振盪雙線性Hilbert變換的有界性與截斷雙線性Hilbert變換的有界性是等價的, 其範圍是最佳的。此外，對具有緊支集光滑函式的振盪積分變換進行了系統研究，我們得到了Lp的最優的下降估計階, 作為推論，我們還得到了另一類運算元的最佳估計。這些結果本質上改進了E.M.Stein等人的幾個重要結果。 第二、系統研究了乘積空間上的Hardy運算元的問題。乘積空間上的問題一直是比較困難的, 成熟的方法和工具不多, 藉助於局部緊群上的Haar測度的理論, 用非常新穎的辦法得到了乘積空間上的Hardy運算元及其共軛運算元加冪權有界性的充要條件及的運算元的範數等創新性的結果。 第三、研究了著名的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式及廣義Hardy-Littlewood-Sobolev不等式。Hardy-Littlewood-Sobolev不等式是調和分析中極為重要的一類不等式, 與Riesz位勢有密切聯繫, 被廣泛的套用到ＰＤＥ等許多領域, 許多著名數學家都系統的研究過這個不等式。我們巧妙地利用Lorentz空間上的兩個函式的乘積定理和卷積定理等方法刻畫了加雙冪權的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式成立的充要條件。我們考慮了所有ｐ和ｑ的範圍, 完整地解決了這個問題, 對於進一步的套用這個不等式提供了更多的便利。此外, 在一些特殊情況下, 還得到了使這個不等式成立的最佳常數。最後, 我們藉助於凸分析及組合數學的方法, 結合華人數學家樊畿（Ky Fan）的一個關鍵結果完全解決了廣義 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式成立的充要條件。
