支撐集

在數學中，一個定義在集合X上的實值函式f的支撐集，或簡稱支集，是指X的一個子集，滿足f恰好在這個子集上非0。最常見的情形是， X是一個拓撲空間，比如實數軸等等，而函式f在此拓撲下連續。此時， f的支撐集被定義為這樣一個閉集 C： f在 X\ C中為0，且不存在C的真閉子集也滿足這個條件，即，C是所有這樣的子集中最小的一個。拓撲意義上的支撐集是點集意義下支撐集的閉包。

特別地，在機率論中，一個機率分布是隨機變數的所有可能值組成的集合的閉包。

基本介紹

• 中文名：支撐集
• 外文名：support set
• 別稱：支集
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：機率論
• 含義：定義在集合X上的實值函式f支撐集

定義

特別地，在機率論中，一個機率分布的支撐集是隨機變數的所有可能值組成的集合的閉包。

緊支撐

一個函式被稱為是緊支撐於空間X的，如果這個函式的支撐集是X中的一個緊集。例如，若 X是實數軸，那么所有在無窮遠處消失的函式都是緊支撐的。事實上，這是函式必須在有界集外為0的一個特例。在好的情形下，緊支撐的函式所構成的集合，在所有在無窮遠處消失的函式構成的集合中，是稠密集的，當然在給定的具體問題中，這一點可能需要相當的工作才能驗證。例如對於任何給定的 ，一個定義在實數軸X上的函式 f在無窮遠處消失，可以粗略通過選取一個緊子集 C來描述：

其中 表示 C的指示函式。

注意，任何定義在緊空間上的函式都是緊支撐的。

當然也可以更一般地，將支撐集的概念推廣到分布，比如狄拉克函式：定義在直線上的。此時，我們考慮一個測試函式F，並且 F是光滑的，其支撐集不包括 0。由於（即作用於F）為 0，所以我們說的支撐集為。注意實數軸上的測度（包括機率測度）都是分布的特殊情況，所以我們也可以定義一個測度支撐集。

奇支集

在傅立葉分析的研究中，一個分布的奇支集或奇異支集有非常重要的意義。 直觀地說，這個集合的元素都是所謂的奇異點，即使得這個分布不能局部地看作一個函式的點。

例如，單位階躍函式的傅立葉變換，在忽略常數因子的情況下，可以被認為是1/x，但這在x=0時是不成立的。所以很明顯地，x=0是一個特殊的點，更準確地說，這個分布的傅立葉變換的奇支集是，即對於一個支撐集包括0的測試函式而言，這個分布的作用效果不能表示為某個函式的作用。當然這個分布可以表示為一個柯西主值意義下的瑕積分。

對於多變數的分布，奇支集也可以更精確地被描述為波前集，從而可以利用數學分析來理解惠更斯原理。奇支集也可以用來研究分布理論中的特殊現象，如在試圖將分布'相乘'時候導致的問題（狄拉克函式的平方是不存在的，因為兩個相乘的分布的奇支集必須不相交）。

支撐族

支撐族是一個抽象的拓撲概念，昂利·嘉當在一個層中定義了這個概念。在將龐加萊對偶性推廣到非緊的流形上的時候，在對偶的一個方面上引入緊支撐的概念是自然的。

Bredon的書《Sheaf Theory》(第二版 1997)中給出了這些定義。X的一組閉子集是一個支撐族，如果它是下閉的並且它的有限並也是閉的。它的擴張是的並。一個仿緊化(paracompactifying)的支撐族對於任何，在子空間拓撲意義下是一個仿緊空間，並且存在一些是一個鄰域。如果X是一個局部緊空間，並且是豪斯多夫空間，所有的緊子集組成的族滿足上的條件，那么就是仿緊化的。