動力系統 (dynamical system)是數學上的一個概念。在動力系統中存在一個固定的規則，描述了幾何空間中的一個點隨時間演化情況。例如描述鐘擺晃動、管道中水的流動，或者湖中每年春季魚類的數量，凡此等等的數學模型都是動力系統。
基本介紹
- 中文名：動力系統
- 外文名：dynamical system
- 定義：數學上的一個概念
- 作用：空間中的一個點隨時間演化情況
- 套用學科：數學
- 相關術語：電力系統
簡介,介紹,研究,
簡介
在動力系統中有所謂狀態的概念，狀態是一組可以被確定下來的實數。狀態的微小變動對應這組實數的微小變動。這組實數也是一種流形的幾何空間坐標。動力系統的演化規則是被一組函式控制，它描述未來狀態如何依賴於當前狀態的。這種規則是確定性的，即對於給定的時間間隔內狀態只能演化出一個未來的狀態。
動力系統
動力系統在動態系統中有所謂狀態的概念，狀態是一組可以被確定下來的實數。狀態的微小變動對應這組實數的微小變動。這組實數也是一種流形的幾何空間坐標。動態系統的演化規則是一組函式的固定規則，它描述未來狀態如何依賴於當前狀態的。這種規則是確定性的，即對於給定的時間間隔內，從現在的狀態只能演化出一個未來的狀態。
若只是在一系列不連續的時間點考察系統的狀態，則這個動態系統為離散動態系統；若時間連續，就得到一個連續動態系統。如果系統以一種連續可微的方式依賴於時間，我們就稱它為一個光滑動態系統。
介紹
自然界中常出現一些隨時間而演變的體系，如行星系、流體運動、物種綿續等等，這樣的一些體系，如果都有數學模型的話，則它們的一個共同的最基本的數學模型是：有一個由所有可能發生的各種狀態構成的集合X並有與時間t有關的動態規律φt:X→X。這樣,一個狀態x∈X隨時間t變動而成為狀態φt(x)。如果X是歐幾里得空間或一般地是一個拓撲空間,時間t占滿區域(-,)，動態規律φt還滿足其他簡單且自然的條件（見拓撲動力系統），則得一動力系統。這時，過每一點x∈X有一條軌線，即集合{φt(x)|t∈(- ,)}。 如果X是一歐氏空間，或較廣地是一光滑流形,且動力系統φt:X→X在每一x∈X處對t可微:,則稱這系統為常微分方程組或常微系統S 所產生。其逆，若X是緊緻光滑流形,其上先給有一C1常微系統S 則據基本的常微分方程理論，S 恆產生一動力系統。這裡,S 是C 1的，即S 對x連續地可微。 如上所述，動力系統理論與常微分方程定性理論中所探討的內容似無多大的區分，然而有不同的側面，動力系統著重在抽象系統而非具體方程的定性研究，其研究辦法著眼於一族軌線間的相互關係，換言之，是整體性的。這整體性有些是拓撲式的,也有些是統計式的;後者主要是遍歷性。動力系統理論是經典常微分方程式論的一種發展。
動力系統
動力系統研究
動力系統的研究，19世紀末期即已開端，早在1881年起的若干年裡,（J.-）H.龐加萊開始了常微分方程定性理論的研究，討論的課題（如穩定性、周期軌道的存在及回歸性等）以及所用研究方法的著眼點，即為後來所說的動力系統這一數學分支的創始。G.D.伯克霍夫從1912年起的若干年裡，以三體問題為背景，擴展了動力系統的研究，包括他得出的遍歷性定理。在他們關心的天體力學或哈密頓系統的領域中，多年後出現了以太陽系穩定性為背景的柯爾莫哥洛夫-阿諾爾德-莫澤扭轉定理。從1931年起的若干年時間裡，以Α.Α.馬爾可夫總結伯克霍夫理論、正式提出動力系統的抽象概念為開端,蘇聯學者進一步推動了動力系統理論的發展。
近二十多年來，動力系統的研究又產生了質的變化。這導源於結構穩定性的研究。這方面的主要成果許多是在X是緊緻光滑流形M的情況下得出的。M上的C1常微系統S，如果充分小的C1擾動不改變S 的相圖結構,就稱它為結構穩定的。也就是說:若M上任一C1常微系統Z充分靠近S,則有M到其自身上的一拓撲變換把S的軌線映到Z的軌線（這裡所謂充分靠近是就C意義下來說的）。結構穩定性這一概念之所以廣泛為人們接受，是由於在實際套用中所取的數學模型，比起真實現象來，往往經過了簡化，因此要使所取模型成為有效，就希望雖有小擾動仍能有某種程度不變的結構。顯然，從這個意義下的穩定性出發的動力系統理論，不僅涉及每一單個常微系統的相圖的整體性，也要涉及同一流形上由許多常微系統作成的集合的整體性，換言之，這是大範圍的。 常微系統結構穩定性的概念首先由Α.Α.安德羅諾夫和Л.С.龐特里亞金於1937年就某類平面常微分方程組提出，但隔了二十多年，在M.佩克索托給出了二維結構穩定系統稠密性定理後，才受到人們的重視，因為二維閉曲面上的結構穩定系統不僅有較簡單的相圖結構，且任一C1常微系統都可以由結構穩定系統來任意地靠近。在流形維數大於2時，是否也有同樣的結論,這個問題激發了人們對微分動力系統的研究，後來清楚了，在高維情況下結構穩定系統的相圖一般很複雜，且稠密性定理不再成立。
動力系統
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