運動方程是描述結構中力與位移(包括速度和加速度)關係的數學表達式。其建立方法主要有5種，包括牛頓第二定律、D’Alembert 原理、虛位移原理、Hamilton原理和Lagrange方程。
基本介紹
- 中文名：運動方程
- 外文名：equation of motion
- 定義：描述力與位移(或速度加速度)關係
定義,建立方法,
定義
運動方程是描述結構中力與位移(包括速度和加速度)關係的數學表達式。
單質點體系的運動方程：
多自由度體系的運動方程：
建立方法
運動方程建立主要由以下五種方法，以 右圖的單質點體系運動為例。
牛頓第二定律
根據單質點體系的受力分析可以直接寫出該單質點體系的運動方程：
牛頓第二定律的優點：
牛頓第二定律是基於物理學中已有知識的直接套用，以人們最容易接受的力學知識建立體系的運動方程。
D’Alembert原理（直接動力平衡法）
在體系運動的任一瞬時，如果除了實際作用結構的主動力（包括阻尼力）和約束反力外，再加上（假想的）慣性力，則在該時刻體系將處於假想的平衡狀態（動力平衡）。
D’Alembert原理的優點：
靜力問題是人們所熟悉的，有了D’Alembert 原理之後，形式上動力問題就變成了靜力問題，靜力問題中用來建立控制方程的方法，都可以用於建立動力問題的平衡方程，使對動力問題的思考有一定的簡化。對很多問題，D’Alembert原理是用於建立運動方程的最直接、最簡便的方法，建立了動力平衡（簡稱：動平衡）的概念。
虛位移原理
虛位移原理：在一組外力作用下的平衡系統發生一個虛位移時，外力在虛位移上所做的虛功總和恆等於零。
虛位移是指滿足體系約束條件的無限小位移。設體系發生一個虛位移du，則平衡力系在du上做的總虛功為：
其中， 。
虛位移原理的優點：
虛位移原理是建立在對虛功分析的基礎之上，而虛功是一個標量，可以按代數方式運算，因而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需要採用的矢量運算更簡便。
Hamilton原理
可以套用變分法（原理）建立結構體系的運動方程。在數學上，變分問題就是求泛函的極值問題。在這裡，泛函就是結構體系中的能量（功）。
體系的平衡位置是體系的穩定位置，在穩定位置，體系的能量取得極值,一般是極小值。
Hamilton原理：在任意時間區段[t1, t2]內，體系的動能和位能的變分加上非保守力做功的變分等於0。
其中：
Hamilton原理的優點：
不明顯使用慣性力和彈性力，而分別用對動能和位能的變分代替。因而對這兩項來講，僅涉及處理純的標量，即能量。而在虛位移中，儘管虛功本身是標量，但用來計算虛功的力和虛位移則都是矢量。
Lagrange方程
Hamilton原理是一種積分形式的動力問題的變分方法，實際還有另外與之等價的微分形式的動力問題的變分原理，就是運動的Lagrange方程，其表達式如下：
其中：
Lagrange方程的優點：
得到更多的套用，它和Hamilton原理一樣，除非保守力（阻尼力）外，是一個完全的標量分析方法，不必直接分析慣性力和保守力（主要是彈性恢復力），而慣性力和彈性恢復力是建立運動方程時最為困難的處理對象。
