基本介紹
- 中文名：簡諧運動
- 外文名：Simple harmonic motion，SHM
定義,科學結論,振幅、周期和頻率,一般簡諧運動周期,單擺運動周期,周期公式證明,一般簡諧運動周期公式證明,單擺周期公式證明,運動方程推導,簡單推導,嚴格推導,十個“不一定”,回復力,阻尼振動,受迫振動和共振,受迫振動,共振,
定義
如果做機械振動的質點，其位移與時間的關係遵從正弦（或餘弦）函式規律，這樣的振動叫做簡諧運動，又名簡諧振動。因此，簡諧運動常用
作為其運動學定義。其中振幅A，角頻率
，周期T，和頻率f的關係分別為：
、
。
科學結論
振幅、周期和頻率
一般簡諧運動周期
一般，若振子受重力與彈力二力等效k=k,但平衡位置為kx=mg時所在位置。
單擺運動周期
其周期
（π為圓周率）這個公式僅當偏角很小時才成立。T與振幅（a<5°）都和擺球質量無關，僅限於繩長<<地球半徑。
擴展：由此可推出
，據此可利用實驗求某地的重力加速度。
周期公式證明
為了使示意圖更加簡潔，全部假設k=1，這樣的話以為F回=-kx（並且在此強調此處負號只表示方向，不表示數值，所以在證明中使用數值關係時全部忽略負號），所以回復力F數值上和在圖中的線段長度等於位移x，所以在兩個示意圖中都是用一條線表示的。
一般簡諧運動周期公式證明
因為簡諧運動可以看做圓周運動的投影，所以其周期也可以用圓周運動的公式來推導。
圓周運動的
；很明顯v無法測量到，所以根據
得到
。
其中向心力F便可以用三角函式轉換回復力得到即
（F=-kx中負號只表示方向，所以在這省略）。所以得到
；
因為x與r之間的關係是：x=rcosα，所以上式繼續化簡得到：
。
然後再將v帶入之前的圓周運動T中，即可得到 。
單擺周期公式證明
首先必須明確只有在偏角不太大的情況（高中課本認為小於5°均可）下，單擺的運動可以近似地視為簡諧運動。
見示意圖，在偏角很小時，我們可以近似的看做圖中紅色箭頭即位移x（回復力）垂直於平衡位置。於是我們便可以得到sinα≈
。同時因為回復力為重力與速度平行方向上的分力即圖中重力分力2，重力分力1即L的延長線。於是我們可以得到△AOB與重力和它的分力所構成的三角形相似（注意相似時的三角形方向）即可得到： 。
單擺周期公式證明
單擺周期公式證明注意：此處比例關係中的位移x雖然在k=1的假設下數值上等於回復力F，但是必須清楚在意義上G2才是真正的回覆力F，因為回復力F為重力與速度平行方向上的分力即G2。
運動方程推導
定義：一個做勻速圓周運動的物體在一條直徑上的投影所做的運動即為簡諧運動：
若：
將R記為勻速圓周運動的半徑，即：簡諧運動的振幅；
將φ記為 t=0 時勻速圓周運動的物體偏離該直徑的角度（逆時針為正方向），即：簡諧運動的初相位。
則，在t時刻：
簡諧運動的位移x=Rcos（ωt+φ）；
簡諧運動的速度v=-ωRsin（ωt+φ）；
簡諧運動的加速度a=-ω2Rcos（ωt+φ），上述三式即為簡諧運動的方程。
簡單推導
根據簡諧運動的定義，在右圖的示意圖中，我們可以清晰的看出上面各個概念在途中的表示。O點為圓心，也為簡諧運動的平衡位置。
簡諧運動與圓周運動示意圖
簡諧運動與圓周運動示意圖對位移的推導使用三角函式的有關知識（ωt+φ）即角度,運用三角函式便求出了O點與結束位置的距離，即位移。（此圖中位移為負數，即設定左邊方向為正方向）所以得出方程x=Rcos（ωt+φ）。
因為速度即為
，運用微積分的知識對位移方程進行微分，便可得到導數 =-ωRsin（ωt+φ），即v=-ωRsin（ωt+φ）。
說明
1、這個運動是假設在沒有能量損失引至阻力的情況而發生。
2、做簡諧運動的物體的加速度跟物體偏離平衡位置的位移大小成正比，方向與位移的方向相反，總指向平衡位置。
嚴格推導
右圖是用微分方程法對簡諧運動的物理過程的詳細推導，其中的表達式都用嚴格的公式給出：
微分方法法嚴格推導十個“不一定”
簡諧運動是最簡單、最基本的機械振動，是物體在跟偏離平衡位置的位移大小成正比，並且總指向平衡位置的回覆力作用下的振動。簡諧運動也是高中物理部分的重點知識之一。弄清簡諧運動的規律對進一步學習機械波、交流電、電磁波等具有非常重要的意義。筆者針對怎樣理解簡諧運動的特點和規律提出以下十個“不一定”。
一、物體運動的路線不一定都是直線
例如，單擺擺球做簡諧運動時的運動路線是在擺球平衡位置兩側並通過平衡位置的一段圓弧，即擺球的運動路線為曲線。
二、物體運動的速度方向與位移方向不一定相同
簡諧運動的位移指的是振動物體偏離平衡位置的位移，位移的起點總是在平衡位置，那么當物體遠離平衡位置時位移方向與速度方向相同，靠近平衡位置時位移方向與速度方向相反。
三、振動物體所受的回覆力方向與物體所受的合力方向不一定相同
例如，單擺在平衡位置附近（小角度範圍內）的擺動既做圓周運動，又做簡諧運動，擺球所受到的各個力的合力既要提供其做圓周運動的向心力，又要提供其做簡諧運動的回覆力，即單擺振動過程中擺球受到所有力的合力的一個分力提供向心力，另一個分力提供回復力。那么回復力方向就與擺球所受到的各力的合力方向不相同。
四、物體在平衡位置不一定處於平衡狀態
例如，單擺擺球做簡諧運動經過平衡位置時，由於擺球的平衡位置在圓弧上，擺球在圓弧上做圓周運動需要向心力，故擺球在平衡位置處懸繩的拉力大於擺球的重力，即擺球在平衡位置並非處於平衡狀態。
五、物體在四分之一周期內通過的路程不一定等於振幅
做簡諧運動的物體在一個運動周期的時間內通過的路程是振幅的4倍，在半個周期的時間內通過的路程是振幅的2倍，但是在四分之一周期時間內通過的路程就不一定等於振幅。雖然當物體從平衡位置向最大位移運動四分之一周期時間或從最大位移向平衡位置運動四分之一周期時間，物體通過的路程都等於振幅，但是當物體從平衡位置和最大位移之間的某一位置開始運動四分之一周期時間通過的路程就不等於振幅了。因為做簡諧運動的物體在平衡位置附近速度比在最大位移附近速度大，故物體從平衡位置和最大位移之間的某一位置向平衡位置方向運動並通過平衡位置的四分之一周期時間內通過的路程就大于振幅，而向最大位移方向運動並返回的四分之一周期時間內通過的路程就小于振幅。
六、簡諧運動的振動快時物體的運動不一定快
簡諧運動的振動快慢由振動周期或頻率反映，周期小振動快，周期大振動慢；而做簡諧運動的物體運動快慢則由物體運動的瞬時速度反映，在某時刻瞬時速度大則運動快，反之則運動慢。同時簡諧運動的振動快慢是由振動系統的本身決定的，而做簡諧運動物體的運動快慢則由振動物體的位置和儲存在振動系統中的能量決定。所以簡諧運動振動快，物體在某時刻的運動不一定快。
七、單擺的擺長短，周期不一定小
單擺振動的周期不但與擺長有關，而且還與單擺所在處重力加速度一定時擺球懸點的加速度有關，當擺球懸點的加速度為零時，擺長越短，周期就越小。那么當把擺長較短的單擺放在加速下降的升降機中時，由於單擺處於失重狀態，故單擺振動的周期也可以比放在地面上懸點加速度為零的擺長較長的單擺振動周期大，當單擺處於完全失重狀態時，單擺振動周期為無窮大，單擺處於停振狀態。
八、單擺擺球處在平衡位置時擺線不一定在豎直方向
單擺擺球的平衡位置處在懸點正下方的條件是擺球懸點的加速度為零或有加速度但加速度在豎直方向，否則擺球的平衡位置就不在擺球懸點的正下方。例如，單擺懸掛在水平方向加速運動的小車中，擺球處在平衡位置時，懸線就不在豎直方向，且小車的加速度越大，擺球在平衡位置時懸線與豎直方向的夾角也越大。
九、物體每次通過同一位置時，同一物理量不一定相同
由於簡諧運動具有周期性，故描述物體運動狀態的物理量以及所受的回覆力都在隨時間做周期性變化，這樣物體每次通過運動路線上的同一位置時，同一物理量也就不一定相同。其中通過同一位置時相同的物理量是位移、動能、回復力、以及回復力產生的加速度，而速度、動量這兩個物理量在物體連續通過同一位置時就不相同，這是因為速度、動量是矢量，其方向與運動方向相同，而物體連續通過同一位直時運動方向是相反的，所以物體每次通過同一位置時，同一物理量不一定相同。
十、運動物體在半個周期內回復力做功一定為零，但回復力的衝量不一定為零
做簡諧運動的物體在任意半個周期的前後瞬間，其速度大小一定相同，速度方向可能是相同的，也可能是相反的。故由動能定理和動量定理知，物體在半個周期內回復力做功一定為零，回復力的衝量不一定為零。
回復力
定義：振子受迫使它回復平衡位置的力，是合外力平行於速度方向上的分力。
簡諧運動式中的k是比例係數（只是在彈簧振子系統中k恰好為勁度係數），負號的意思是：回復力的方向總跟物體位移的方向相反。負號只代表方向，不代表數值正負。
阻尼振動
阻尼振動：在阻力作用下的振動，當阻力大小可以忽略時，可以說是簡諧運動。
性質：受到的阻力越大，振幅越小；反之，受到的阻力越小，振幅越大。
簡諧運動
簡諧運動振動方程：x=Ae-ntsin（wt+θ）.
效果：振動過程中受到阻力的作用，振幅逐漸減小，能量逐漸損失，直至振動停止。但整個過程中振動的頻率不變。
受迫振動和共振
受迫振動
受迫振動：振動系統在周期性驅動力作用下的振動。穩定時，系統的振動頻率等於驅動力的頻率，跟系統的固有頻率無關。驅動力頻率越接近固有頻率，振幅越大。註：在原有震動系統已經處於振動的情況再施加周期性驅動力的話，振動系統的振動頻率在足夠長的時間後才會逼近驅動力的頻率，而且永遠也不會相等。在中學階段，只需要認為穩定時，系統的振動頻率等於驅動力的頻率，跟系統的固有頻率無關即可。
共振
共振：當驅動力的頻率等於系統的固有頻率時的振動稱為共振。
物體的振幅增大，能量增加。若能量的增量等於所受阻力而消耗的能量時達到最大振幅，而不會一直增大。
