簡諧波

簡介

簡諧運動（或簡諧振動、諧振、SHM（Simple Harmonic Motion））既是最基本也是最簡單的一種機械振動。當某物體進行簡諧運動時，物體所受的力跟位移成正比，並且力總是指向平衡位置。

如果用F表示物體受到的回覆力，用x表示物體對於平衡位置的位移，根據胡克定律，F和x成正比，它們之間的關係可用下式來表示：

式中的k是回復力與位移成正比的比例係數；負號的意思是：回復力的方向總跟物體位移的方向相反。

根據牛頓第二定律，F=ma，當物體質量一定時，運動物體的加速度總跟物體所受合力的大小成正比，並且跟合力的方向相同。簡諧運動系統的機械能守恆。

動力學方程

對於一維的簡諧振動，其動力學方程是二階微分方程，可由牛頓第二運動定律得到

回復力又可表示為

所以有

求解上述方程，得到的的解含有正弦函式

其中

，

是由初始條件決定的常數。取平衡位置為原點，每項都有物理意義：A是振幅，ω= 2πf是角頻率，φ是相位。

利用微積分，速度和加速度可以作為時間的函式得到

加速度也可以作為位移的函式被得到

因為ω= 2πf，

又因為周期T= 1/f，所以：

以上方程說明了簡諧振動具有等時性，即一個做簡諧振動的質點運動周期和振幅以及相位無關。

彈簧振子

將一個有孔小球體與一個彈簧連在一起，將一個極為光滑的水平桿穿入小球體，使球體可以在水平桿上左右滑動，而球體與水平桿的摩擦力小得可以忽略不計。將彈簧的一端固定住，彈簧的整體質量要比球體質量小得多，這樣彈簧本身質量也可以忽略不計。這個系統便是一個彈簧振子。

彈簧振子系統在平衡狀態下，彈簧沒有形變，振子（小球體）在平衡位置保持靜止。若把振子拉過平衡位置，到達最大幅度，再鬆開，彈簧則會將振子向平衡位置收回。在收回的過程中，彈簧的勢能轉換為振子的動能，勢能在降低的同時，動能在增加。當振子到達平衡位置時，振子所積累的動能又迫使振子越過平衡位置，繼續向同樣的方向移動。

但因已越過彈簧振子系統的平衡位置，所以這時彈簧開始對振子向相反方向施加力。動能轉作勢能，動能降低，勢能上升，直至到達離平衡位置最大幅度的距離。這時振子所有的動能被轉化為勢能，振子速度為零，停止運動。勢能又迫使振子移回平衡位置，在移動過程中，勢能轉為動能，因而再次越過平衡位置，重複這個過程。在沒有任何其他力影響的完美的條件下，這個彈簧振子系統會在兩個最大幅度點間不停地做往返運動。彈簧振子的固有周期和固有頻率與彈簧彈力係數和振子質量有關，與振幅大小無關。