斯豪滕－奈恩黑斯括弧

在微分幾何中，斯豪滕–奈恩黑斯括弧（Schouten–Nijenhuis bracket，國際音標：[ˈsχʌutən]-[ˈnɛiənhœys]），也稱為斯豪滕括弧。

基本介紹

• 中文名：斯豪滕－奈恩黑斯括弧
• 分類：數理科學

簡介

在微分幾何中，斯豪滕–奈恩黑斯括弧是定義在光滑流形上的多重向量場上的一種分次李括弧，推廣了向量場的李括弧。有兩種不同的版本，讓人相當不解地是有相同的名字。最通常的版本是定義在交錯多重向量場上，使得其成為一個格爾斯滕哈伯代數；但另一個版本定義在對稱多重向量場上，這或多或少與餘切叢上的泊松括弧相同。它由揚·阿諾爾德斯·斯豪滕（Jan Arnoldus Schouten）在1940年與1953年發現，其性質為他的學生阿爾貝特·奈恩黑斯（Albert Nijenhuis）在1955年研究。它與奈恩黑斯–理察森括弧及弗勒利歇爾－奈恩黑斯括弧有聯繫但不相同。

定義與性質

一個交錯多重向量場是流形M的切叢上外代數的一個截面。交錯多重向量場在a與b的乘法ab（一些作者使用a∧b）下形成一個分次超交換環。這與通常微分形式代數 ΩM是對偶的，對偶關係是齊次元素上的配對

∧TM中多重向量A的次數定義為 |A| =p。

斜對稱斯豪滕–奈恩黑斯括弧是向量場的李括弧到交錯多重向量場分次代數的惟一擴張，使得分次多重向量場成為一個格爾斯滕哈伯代數。它由向量場的李括弧以如下方式給出

對任何向量場a_i與b_j。Schouten–Nijenhuis 括弧具有如下性質：

• |ab| = |a| + |b|（乘法的次數為 0）
  
• |[a,b]| = |a| + |b| − 1（斯豪滕–奈恩黑斯括弧的次數為 −1）
  
• (ab)c=a(bc),ab= (−1)ba（乘法滿足結合律與（超）交換律）
  
• [a,bc] = [a,b]c+ (−1)b[a,c]（泊松恆等式）
  
• [a,b] = −(−1)[b,a]（Schouten-Nijenhuis 括弧的反對稱性）
  
• [[a,b],c] = [a,[b,c]] − (−1)[b,[a,c]]（Schouten–Nijenhuis 括弧的雅可比恆等式）
  
• 如果f與g是函式（次數為 0 的多重向量），則 [f,g] = 0。
  
• 如果a是一個向量場，則 [a,b] =L_ab是多重向量場b沿著a的通常李導數；特別地，如果a與b是向量場則 斯豪滕–奈恩黑斯括弧就是通常向量場的李括弧。
  

如果分次變為相反奇偶性（從而奇、偶子空間互換），則斯豪滕–奈恩黑斯括弧使多重向量場成為一個李超代數，不過在新分次下它不再是超交換環。相應地，雅可比恆等式也可以表示為對稱形式

推廣

A. M. 維諾格拉多夫（Vinogradov）在1990年得出交錯多重向量場的斯豪滕–奈恩黑斯括弧與弗勒利歇爾－奈恩黑斯括弧一般推廣。

斯豪滕–奈恩黑斯括弧的一個版本也能類似地定義在對稱多重向量場上。對稱多重向量場可與M的餘切叢T(M) 上在纖維上是多項式的函式等價，在這種等化下對稱斯豪滕–奈恩黑斯括弧對應於辛流形T(M) 上函式的泊松括弧。1995年，Dubois-Violette 與 Peter W. Michor 將對稱多重向量場的斯豪滕–奈恩黑斯括弧與弗勒利歇爾－奈恩黑斯括弧推廣到一般情形。