弗勒利歇爾－奈恩黑斯括弧

在數學中，弗勒利歇爾－奈恩黑斯括弧（Frölicher–Nijenhuis bracket）是光滑流形上向量場的李括弧到向量值微分形式的推廣。它在研究聯絡，特別是埃雷斯曼聯絡，以及更一般的研究切叢的投影中很有用。此括弧由阿爾弗雷德·弗勒利歇爾與阿爾伯特·奈恩黑斯於1956年引入，與斯豪滕1940年的工作有聯繫。

它與奈恩黑斯–理察森括弧和斯豪滕–奈恩黑斯括弧相關但不是一回事。

基本介紹

• 中文名：弗勒利歇爾－奈恩黑斯括弧
• 外文名：Frölicher–Nijenhuis bracket

定義

設 Ω*(M) 是光滑流形 M 上微分形式的外代數。這是一個分次代數，其次數由形式的階數給出：

一個階數為 ℓ 的分次導子是一個映射：

它對常數是線性的且滿足

從而，特別地，關於一個向量的內乘定義了一個階數 ℓ = -1 的分次導子，而外導數是一個階數 ℓ = 1 的導子。

記所有階數為 ℓ 的導子的向量空間為 DerℓΩ*(M)。這些空間的直和是一個分次向量空間其齊次分量由所有給定階分次導數組成；記成：

這形成一個分次李代數，其李括弧為導子的反交換子，在階數分別為 d1 和 d2 的齊次導子 D1 和 D2 上的定義為：

任何取值於 M 的切叢的向量值微分形式 K ∈ Ωk(M, TM) 定義了一個階數 k -1 的分次導子，記作 iK，稱為插入運算元。對 ω ∈ Ωℓ(M)，

沿著 K ∈Ωk(M, TM) 的 奈恩黑斯–李導數定義為

這裡 d 是外導數而 iK 是插入運算元。

弗勒利歇爾－奈恩黑斯括弧定義為滿足下式的惟一向量值微分形式：

使得

如果 k = 0，故 K ∈ Ω0(M, TM) 是一個向量場，得到了李導數的通常同倫公式：

與 （這裡 φ 與 ψ 是形式，X 與 Y 是向量場）的弗勒利歇爾－奈恩黑斯括弧的明確表達式為

形式環的導子

Ω*(M) 上任何導子，存在惟一元素 K 與 L 屬於 Ω*(M, TM) 使得

這些導子的李括弧如下給出。

形為的導子組成與所有 d 可交換的李超代數。其括弧為：

這裡右邊的括弧是弗勒利歇爾－奈恩黑斯括弧。特別地弗勒利歇爾－奈恩黑斯括弧在上定義了一個分次李代數結構，擴充了向量場的李括弧。

形為的導子組成在函式Ω^0(M)}上消沒的李超代數。其括弧為

這裡右邊的括弧是奈恩黑斯–理察森括弧。

不同類型的導子之括弧為

其中 K 屬於 Ωk(M, TM)，L 屬於 Ωl+1(M, TM)

套用

殆復結構 J 的奈恩黑斯張量，是 J 與自己的弗勒利歇爾－奈恩黑斯括弧。一個殆復結構是復結構若且唯若奈恩黑斯張量是零。

有了弗勒利歇爾－奈恩黑斯括弧可以定義一個向量值 1-形式（這是一個投影）的曲率與余曲率。這是聯絡的曲率概念之推廣。

斯豪滕–奈恩黑斯括弧與弗勒利歇爾－奈恩黑斯括弧有一個一般的推廣；細節請參見斯豪滕–奈恩黑斯括弧一文。