泊松代數

定義

一個泊松代數是域K上一個向量空間裝備著兩個雙線性乘積，

與 { , }，滿足如下性質：

（1）乘積

構成一個結合K-代數；

（2）乘積 { , }，叫做泊松括弧，構成李代數，從而反對稱並滿足雅可比恆等式。

（3）泊松括弧是結合乘積

的導子，即對此代數中任何三個元素x，y與z，都有

。

最後一個性質通常保證了這個代數有其他給出表述，可見下面例子中所指出。

泊松代數出現於多種不同場合。

辛流形上實值光滑函式組成一個泊松代數。辛流形上每個實值函式H在此流形上產生一個向量場

，即哈密頓向量場。然後給定此辛流形上任何光滑函式 F與 G，它們的泊松括弧 {,} 定義為

這個定義是一致的是因為此泊松括弧是一個導子。等價地，可以將 {,} 定義為

這裡 [,] 是李導數。當辛流形是帶著標準辛結構的

，則泊松括弧取如下熟知的形式

可對泊松流形進行類似的考慮，它允許辛雙向量在流形的某些位置消沒。

如果A是一個結合代數，則交換子 [x,y]≡xy−yx使它成為一個泊松代數。

是一個泊松代數，其中

而

。對某些定點運算元代數，這個泊松代數是有限維的。