微分運算元

描述

在數學中，微分運算元是定義為微分運算之函式的運算元。首先在記號上，將微分考慮為一個抽象運算是有幫助的，它接受一個函式得到另一個函式（以計算機科學中高階函式的方式）。

當然也有理由不單限制於線性運算元；例如施瓦茨導數是一個熟知的非線性運算元。不過這裡只考慮線性情形。

最常用的微分運算元是取導數自身。這個運算元的常用記號包括：d/dx,D，這裡關於哪個變數微分是清楚的，以及D_x，這裡指明了變數。一階導數如上所示，但當取更高階n-次導數時，下列替代性記號是有用的：dⁿ/dxⁿ,Dⁿ,D_xⁿ。

記號D的發明與使用歸於奧利弗·亥維賽，他在研究微分方程中考慮了如下形式的微分運算元

另一個最常見的微分運算元是拉普拉斯運算元，定義為

另一個微分運算元是Θ運算元，定義為

有時候這也稱為齊次運算元，因為它的本徵函式是關於z的單項式：

在n個變數中齊次運算元由

給出。與單變數一樣，Θ的本徵空間是齊次多項式空間。

（1）微分是線性的，即

這裡f和g是函式，而a是一個常數。

（2）任何以函式為係數之D的多項式也是一個微分運算元。我們也可以通過法則

（3）複合微分運算元。需要一些注意：首先運算元D₂中的任何函式係數必須具有D₁所要求的可微次數。為了得到這樣運算的一個環，我們必須假設所用的係數的所有階導數。第二，這個環不是交換的：一個運算元gD一般與Dg不同。事實上我們有例，如在量子力學中的基本關係：

但這些運算元的子環：D的常係數多項式是交換的。它可以另一種方式刻畫：它由平移不變運算元組成。

（4）微分運算元也服從移位定理（shift theorem），即

給定一個線性微分運算元T，

，這個運算元的伴隨定義為運算元

使得

這裡記號

表示數量積或點積。從而此定義取決於數乘的定義。

在平方可積函式空間中，數量積定義為

如果另外增添要求f或g當

等於零，我們也可定義T的伴隨為

此公式不明顯地取決於數量積的定義，故有時作為伴隨運算元的一個定義。當

用這個公式定義時，它稱為T的形式伴隨。