辛同胚

在數學中，一個辛同胚（symplectomorphism）是辛流形範疇中的一個同構。

基本介紹

• 中文名：辛同胚
• 外文名：symplectomorphism
• 學科：物理

正式定義

具體地，設 (M₁, ω₁) 與 (M₂, ω₂) 是辛流形。一個映射

• f:M₁→M₂
  

是一個辛同胚如果它是一個微分同胚且 ω₂在f下的拉回等於 ω₁：

辛同胚的例子包括經典力學與理論物理中的典範變換，與任何哈密頓函式相伴的流，餘切叢上由流形的微分同胚誘導的映射，以及李群的一個余伴隨軌道在一個群元素下的余伴隨作用。

流

由定義，辛流形上任何光滑函式給出一個哈密頓向量場，且這樣向量場的集合組成辛向量場李代數的一個子代數。一個辛向量場的流的積分是一個辛同胚。因為辛同胚保持辛 2-形式，從而也保持辛體積，於是有哈密頓力學中的劉維爾定理。由哈密頓向量場生成的辛同胚也成為哈密頓辛同胚。

因為{H,H} =X_H(H) = 0，哈密頓向量場的流也保持H。在物理學中這解釋為能量守恆。

如果一個連通辛流形的第一個貝蒂數等於零，辛向量場與哈密頓向量場重合，所以哈密頓同痕與辛同痕的概念重合。

（哈密頓）辛同胚群

從一個流形到自身的辛同胚組成一個無限維偽群。相應的李代數由辛向量空間組成。哈密頓辛同胚形成一個子群，它的李代數由哈密頓向量場給出。後者同構於光滑函式關於流形上泊松括弧的李代數模去常數。

由班亞嘎（Banyaga）的一個定理，哈密頓微分同胚群是單群。它們有由霍弗爾範數（Hofer norm）給出的自然幾何。某些簡單辛四維流形（比如球面的乘積）的辛同胚群的同倫型可用偽全純曲線的格羅莫夫定理計算出來。

量子化

辛同胚的有限維子群（一般在 -形變後）在希爾伯特空間上的表示稱為子化。當李群是由一個哈密頓量定義的，它稱為一個“由能量量子化”。從李代數到連續線性運算元李代數對應的運算元通常也稱為量子化；這是物理學中更常見的方式。參見外爾量子化、幾何量子化、非交換幾何。