四維導數運算元

在數學以及物理中，拉普拉斯運算元或是拉普拉斯算符（英語：Laplace operator, Laplacian）是由歐幾里得空間中的一個函式的梯度的散度給出的微分運算元，這名字是為了紀念法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天體力學在數學中首次套用運算元，當它被施加到一個給定的重力位（Gravitational potential）的時候，其中所述運算元給出的質量密度的常數倍。經拉普拉斯運算元運算為零∆f=0的函式稱為調和函式，現在稱為拉普拉斯方程，和代表了在自由空間中的可能的重力場。四維導數運算元即在四位空間上的拉普拉斯運算元。

基本介紹

• 中文名：四維導數運算元
• 外文名：Laplace operator on Four dimensions
• 領域：數學

拉普拉斯運算元

在數學以及物理中，拉普拉斯運算元或是拉普拉斯算符（英語：Laplace operator, Laplacian）是由歐幾里得空間中的一個函式的梯度的散度給出的微分運算元，通常寫成、 或 。

這名字是為了紀念法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天體力學在數學中首次套用運算元，當它被施加到一個給定的重力位（Gravitational potential）的時候，其中所述運算元給出的質量密度的常數倍。經拉普拉斯運算元運算為零∆f=0的函式稱為調和函式，現在稱為拉普拉斯方程，和代表了在自由空間中的可能的重力場。

拉普拉斯運算元有許多用途，此外也是橢圓運算元中的一個重要例子。

拉普拉斯運算元出現描述許多物理現象的微分方程里。例如，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流體力學以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的套用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程式中的動能項。

拉普拉斯運算元是最簡單的橢圓運算元，並且拉普拉斯運算元是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。在圖像處理和計算機視覺中，拉普拉斯運算元已經被用於諸如斑點檢測和邊緣檢測等的各種任務。

定義

拉普拉斯運算元是n維歐幾里得空間中的一個二階微分運算元，其定義為對函式先作梯度運算（）後，再作散度運算（）的結果。因此如果是二階可微的實函式，則的拉普拉斯運算元定義為：

的拉普拉斯運算元也是笛卡兒坐標系中的所有非混合二階偏導數：

作為一個二階微分運算元，對於k≥ 2，拉普拉斯運算元把C函式映射到C函式。表達式定義了一個運算元Δ：C(R)→C(R)，或更一般地，定義了一個運算元Δ：C(Ω)→C(Ω)，對於任何開集Ω。

函式的拉普拉斯運算元也是該函式的海森矩陣的跡：

坐標表示式

二維空間

其中x與y代表x-y平面上的笛卡兒坐標

另外極坐標的表示法為：

三維空間

笛卡兒坐標系下的表示法

圓柱坐標系下的表示法

球坐標系下的表示法

N維空間

在參數方程為（其中以及）的N維球坐標系中，拉普拉斯運算元為：

其中是維球面上的拉普拉斯-貝爾特拉米運算元。我們也可以把的項寫成。

推廣

複雜空間上的實值函式

拉普拉斯運算元可以用一定的方法推廣到非歐幾里得空間，這時它就有可能是橢圓型運算元，雙曲型運算元，或超雙曲型運算元。

在閔可夫斯基空間中，拉普拉斯運算元變為達朗貝爾運算元：

達朗貝爾運算元通常用來表達克萊因-戈爾登方程以及四維波動方程。第四個項前面的符號是負號，而在歐幾里德空間中則是正號。因子c是需要的，這是因為時間和空間通常用不同的單位來衡量；如果x方向用寸來衡量，y方向用厘米來衡量，也需要一個類似的因子。

值域為複雜空間

向量值函式的拉普拉斯運算元

拉普拉斯運算元作用在向量值函式上，其結果被定義為一個向量，這個向量的各個分量分別為向量值函式各個分量的拉普拉斯，即

更一般地，對沒有坐標的向量，我們用下面的方式定義（受向量恆等式的啟發）：

，也可用類似於拉普拉斯－德拉姆運算元的方式定義，然後證明“旋度的旋度”向量恆等式．

拉普拉斯－貝爾特拉米運算元

主條目：拉普拉斯－貝爾特拉米運算元和拉普拉斯－德拉姆運算元

拉普拉斯運算元也可以推廣為定義在黎曼流形上的橢圓型運算元，稱為拉普拉斯-貝爾特拉米運算元。達朗貝爾運算元則推廣為偽黎曼流形上的雙曲型運算元。拉普拉斯–貝爾特拉米運算元還可以推廣為運行於張量場上的運算元（也稱為拉普拉斯–貝爾特拉米運算元）。

另外一種把拉普拉斯運算元推廣到偽黎曼流形的方法，是通過拉普拉斯–德拉姆運算元，它作用在微分形式上。這便可以通過外森比克恆等式來與拉普拉斯–貝爾特拉米運算元聯繫起來。