調和函式

調和函式是在某區域中滿足拉普拉斯方程的函式。通常對函式本身還附加一些光滑性條件，例如有連續的一階和二階偏導數。當自變數為n個（從而區域是n維的）時，則稱它為n維調和函式。

對於高維的調和函式，也有與上述類似的最大、最小值原理，平均值公式以及相應的狄利克雷問題解的存在和惟一性定理。

基本介紹

• 中文名：調和函式
• 外文名：Harmonic function
• 滿足：拉普拉斯方程
• 屬於：函式
• 領域：數學
• 套用學科：數學
• 相關術語：複變函數

定義

在數學、數學物理學以及隨機過程理論中，都有調和函式的概念。一個調和函式是一個二階連續可導的函式f:U→R（其中U是R里的一個開子集），其滿足拉普拉斯方程，即在U上滿足方程：

上式也經常寫作

，其中符號是拉普拉斯運算元。

調和函式還用一個較為弱的定義，但這個定義與上述的定義是等價的。

運用拉普拉斯-德拉姆運算元，調和函式可以在任意的黎曼流形上定義。在這種情況下，調和函式直接定義為：滿足

一個的函式如果滿足，則被稱作次調和函式。

例子

二元的調和函式的例子有：

• 任意全純函式的實數部分和虛數部分。
  
• 函式：f(x₁,x₂) =ln(x₁²+x₂²)
  

這個函式定義在R\ {0}上（實際上是一個均勻線電荷所產生的電勢或一個細長的均勻無限長圓柱形物體產生的引力勢所對應的數學模型）

• 函式：f(x₁,x₂) =exp(x₁)sin(x₂)。
  
• n元的調和函式的例子有：
  

（1）R所有的常數函式、線性函式和仿射函式（比如說兩塊均勻帶電無限大平板之間的電勢）。

（2）定義在R\ {0}上的函式f(x₁,...,x_n) = (x₁+ ... +x_n)，其中n≥ 2。

在三元的調和函式的例子前，先定義以簡化形式。下面表格中的函式在經過數乘（乘以一個常數）、旋轉和相加後仍然會是調和函式。調和函式是由其奇點決定的。調和函式的奇點可以在電磁學中解釋為電荷所在的點，因此相應的調和函式可以看作是某種電荷分布下的電勢場。

函式	奇點
	原點處的點電荷
	原點處的x-向電偶極矩
	整個z-軸上均勻帶電的線電荷
	負的z-軸上均勻帶電的線電荷
	整個z-軸上的線性電偶極矩
	負的z-軸上的線性電偶極矩

性質

在給定的開集U上所有的調和函式的集合是其上的拉普拉斯運算元Δ的核，因此是一個R的向量空間：調和函式的和與差以及數乘，結果依然是調和函式。

如果f是U上的一個調和函式，那么f的所有偏導數也仍然是U上的調和函式，在調和函式類上，拉普拉斯運算元和偏導數運算元是交換的。

在某些意義上，調和函式是全純函式在實值函式上的對應物。所有的調和函式都是解析的，也就是說它們可以局部地展開成冪級數。這是關於橢圓運算元的一個性質，而拉普拉斯運算元是一個常見的例子。

收斂的調和函式列的一致極限仍會是調和的。這是因為所有滿足介值性質的連續函式都是調和函式。

聯繫

一個全純函式的實數和虛數部分都是R上的調和函式。反過來說，對於一個調和函式u，總可以找到一個調和函式v，使得函式u+iv是全純函式。這個函式v被稱為調和函式u的調和共軛。這裡的函式v在差一個常數的意義上是唯一定義的。這個結果在希爾伯特變換中有套用，也是數學分析中一個與奇異積分運算元有關的基本例子。在幾何意義上，u和v可以被看作具有正交的關係。如果畫出兩者的等值線，那么兩條線在交點處正交（兩條切線成直角）。在這種視角下，函式u+iv可以被看作一種“復位勢場”，其中u是一個位勢函式，而v是流函式。

規則性的理論

調和函式總是無窮次可導（光滑）的。事實上，調和函式是實解析函式的一種。

極大值定理

調和函式滿足以下的極大值定理：如果K是U的一個緊子集，那么f在K上誘導的函式只能在邊界上達到其最大值和最小值。如果U是連通的，那么這個定理意味著f不能達到最大值和最小值，除非它是常數函式。對於次調和函式也有同樣的定理。

介值性質

設B(x,r)是一個以x為中心，以r為半徑的完全在U中的球，那么調和函式f(x)球的邊界上取值的平均值和f在球的內部的取值的平均值相同。也就是說：

其中表示n維的單位球面。

劉維爾定理

如果f在整個R都有定義的調和函式，並且在其上有最大值或最小值，那么函式f是常數函式（參見複平面上函式的劉維爾定理）。

推廣

調和函式研究的一個推廣是黎曼流形上的調和形的研究，後者與上同調的研究有關。此外，可以定義調和的向量值函式，或者兩個黎曼流形間的調和映射。這些調和映射出現在最小表面理論中。比如說，一個從R上區間 射到一個黎曼流形的映射是調和的若且唯若它是一條短程線。

“重調和”方程

若u(x,y)滿足“重調和”方程

則稱u是重調和函式,它是數學物理方程理論中的一個重要函式類。調和函式和重調和函式，在力學和物理學中都有重要的套用。類似地也有高維的重調和函式。由於拉普拉斯方程是橢圓型方程的一個特殊情況，故後者的解的一般性質也是調和函式的性質。