調和映射

調和映射(harmonic map)黎曼流形之間的一類十分重要的可微映射。數學上，在黎曼流形M和N之間的一個（光滑）映射，稱為調和映射。

基本介紹

• 中文名：調和映射
• 外文名：harmonic map
• 套用學科：數學
• 例子：恆等映射和常映射
• 所屬領域：數學
• 相關術語：調和函式

數學定義

給出黎曼流形(M,g), (N,h)和映射φ:M→N，定義φ在M中一點x上的能量密度為

其中是φ的微分的範數平方，範數是對向量叢TM⊗φTN上的導出度量而取。能量是能量密度在M上的積分

其中dv_g是M上由度量導出的測度。這是古典狄利克雷能量的推廣。

能量密度可以更明確地表作

用愛因斯坦求和約定，上式右方在局部座標中可表示為：

當M是緊緻時，則φ稱為調和映射，若φ是能量泛函E的一個臨界點。這個定義可以延伸至M不是緊緻的情況：φ稱為調和映射，若φ限制到任一個緊緻區域上都是調和映射，換一個更通常的說法，就是若在索伯列夫空間H(M,N)中φ是能量泛函一個臨界點。

調和映射的另一個等價定義，就是φ滿足與泛函E對應的歐拉-拉格朗日方程：

其中∇是向量叢TM⊗φ上由M和N的列維-奇維塔聯絡導出的聯絡。式中τ(φ)是向量叢φ(TN)的截面，稱為φ的張力場。用上文的物理比喻來說，τ(φ)是“橡膠”流形M要使能量極小化時在N中擬欲移動的方向。

例子

• 恆等映射和常映射是調和映射。
  
• 若M是實數線R（或圓S），也就是說φ是N上的一條曲線（或閉曲線），那么φ是調和映射若且唯若φ是測地線。（這時上述的橡膠與大理石比喻，就變為測地線常用的橡皮圈比喻。）
  
• 若N是歐氏空間R，那么φ是調和映射若且唯若φ是通常意義上的調和函式（即拉普拉斯方程的一個解）。這是狄利克雷原理的結果。若φ是滿射到N的開子集上的微分同胚，則φ給出一個調和座標系。
  
• 在歐氏空間中的極小曲面都是調和浸入。
  
• 更一般地，N中的極小子流形M是從M到N的調和浸入。
  
• 全測地映射都是調和映射。（此時不僅∇dφh的跡（trace），連∇dφh也變為零。）
  
• 凱勒流形間的任何全純映射都是調和映射。
  

度量空間

度量空間中的調和映射。

對於兩個度量空間之間的映射u:M→N這個比黎曼流形弱的場合，能量積分也有相應的推廣。（Jost 1995）這時用以下形式的函式代替能量積分：

其中是依附在M每一點上的測度族。