隨機過程(機率術語)

隨機過程，是依賴於參數的一族隨機變數的全體，參數通常是時間。隨機變數是隨機現象的數量表現，其取值隨著偶然因素的影響而改變。例如，某商店在從時間t0到時間tK這段時間內接待顧客的人數，就是依賴於時間t的一族隨機變數，即隨機過程。

隨機過程的理論產生於本世紀初期，是應物理學、生物學、管理科學等方面的需要而逐步發展起來的。目前，在自動控制、公用事業、管理科學等方面都有廣泛的套用。

基本介紹

• 中文名：隨機過程
• 外文名：Stochastic Process
• 定義：廣泛使用的理論體系
• 套用：建立數學模型。
• 套用學科：一級學科、二級學科
• 理論基礎：由柯爾莫哥洛夫和杜布奠定

基本簡介

一般來說，把一組隨機變數定義為隨機過程。在研究隨機過程時人們透過表面的偶然性描述出必然的內在規律並以機率的形式來描述這些規律，從偶然中悟出必然正是這一學科的魅力所在。

隨機過程整個學科的理論基礎是由柯爾莫哥洛夫和杜布奠定的。這一學科最早源於對物理學的研究，如吉布斯、玻爾茲曼、龐加萊等人對統計力學的研究，及後來愛因斯坦、維納、萊維等人對布朗運動的開創性工作。

隨機過程的研究

研究方法

研究隨機過程的方法多種多樣，主要可以分為兩大類：

一類是機率方法，其中用到軌道性質、停時和隨機微分方程等；另一類是分析的方法，其中用到測度論、微分方程、半群理論、函式堆和希爾伯特空間等。

實際研究中常常兩種方法並用。另外，組合方法和代數方法在某些特殊隨機過程的研究中也有一定作用。

研究內容

主要內容有：多指標隨機過程、無窮質點與馬爾可夫過程、機率與位勢及各種特殊過程的專題討論等。

中國學者在平穩過程、馬爾科夫過程、鞅論、極限定理、隨機微分方程等方面做出了較好的工作。

數學上的隨機過程是由實際隨機過程概念引起的一種數學結構。人們研究這種過程，是因為它是實際隨機過程的數學模型，或者是因為它的內在數學意義以及它在機率論領域之外的套用。

數學上的隨機過程可以簡單的定義為一組隨機變數，即指定一參數集，對於其中每一參數點t指定一個隨機變數x(t)。如果回憶起隨機變數自身就是一個函式，以ω表示隨機變數x(t)的定義域中的一點，並以x(t，ω)表示隨機變數在ω的值，則隨機過程就由剛才定義的點偶(t，ω)的函式以及機率的分配完全確定。如果固定t，這個二元函式就定義一個ω的函式，即以x(t)表示的隨機變數。如果固定ω，這個二元函式就定義一個t的函式，這是過程的樣本函式。

發展概況

1907年前後，Α.Α.馬爾可夫研究過一列有特定相依性的隨機變數，後人稱之為馬爾可夫鏈。

1923年N.維納給出了布朗運動的數學定義，這種過程至今仍是重要的研究對象。雖然如此，隨機過程一般理論的研究通常認為開始於30年代。

1931年，Α.Η.柯爾莫哥洛夫發表了《機率論的解析方法》；三年後，Α.Я.辛欽發表了《平穩過程的相關理論》。這兩篇重要論文為馬爾可夫過程與平穩過程奠定了理論基礎。稍後，P.萊維出版了關於布朗運動與可加過程的兩本書，其中蘊含著豐富的機率思想。

1953年，J.L.杜布的名著《隨機過程論》問世，它系統且嚴格地敘述了隨機過程的基本理論。

1951年伊藤清建立了關於布朗運動的隨機微分方程的理論，為研究馬爾可夫過程開闢了新的道路；

60年代，法國學派基於馬爾可夫過程和位勢理論中的一些思想與結果，在相當大的程度上發展了隨機過程的一般理論，包括截口定理與過程的投影理論等，中國學者在平穩過程、馬爾可夫過程、鞅論、極限定理、隨機微分方程等方面也做出了較好的工作。

特殊隨機過程

對過程的機率結構作各種假設，便得到各類特殊的隨機過程。

除上述正態過程、二階過程外，重要的還有獨立增量過程、馬爾可夫過程、平穩過程、鞅點過程和分支過程等。貫穿這些過程類的有兩個最重要最基本的過程，布朗運動和泊松過程，它們的結構比較簡單，便於研究而套用又很廣泛。從它們出發,可以構造出許多其他過程。這兩種過程的軌道性質不同，前者連續而後者則是上升的階梯函式。