分支過程

分支過程，是一種特殊的隨機過程，它是一組粒子的分裂或滅亡過程的數學模型。

基本介紹

• 中文名：分支過程
• 外文名：branching process
• 類型：隨機過程
• 定義：數學模型
• 釋義：一種特殊的隨機過程

定義

分支過程是一種描述群體中個體數量的時齊馬爾可夫鏈。

離散時間分支過程

設 表示群體的第 n 代的個體總數，如果假定群體中每個個體之“子女”個數是獨立同分步的隨機變數，則 為[離散時間] 分支過程。以 表示第 n 代中第 k 個個體的“子女”個數，於是

由假設知諸相互獨立，並且與整值隨機變數 Y 有相同的分布。

假定 Y 的母函式為。可以證明 是時齊的馬爾可夫鏈，在 的假設下， 的母函式為

其中 為 的 n 重複合。

於是此鏈的轉移陣（從而有窮維分布）由完全確定。如果群體中的個體數不能按“代”計算，而只能以 表示時刻 t 代個體總數，這時可考慮連續時間分支過程。

連續時間分支過程

設時間參數 t≥0 連續，b(t)Δt 表示在短時間 (t,t+Δt) 中發生一次分裂的機率，p_k(t) 表示一個粒子分裂為 k 個的機率(k=0,1,2,…)。若 b(t) 、 p_k(t) 連續，b(t)>0,則在時刻 t 的粒子數 Z(t) 構成一連續時間馬爾可夫鏈，於是可利用後者的理論來研究 {Z(t)} 。若 b(t)，p_k(t) 不依賴於 t ，則 {Z(t)} 是齊次的馬爾可夫鏈，這時可以得到許多類似於對 G-W 過程所得到的結果。