純隨機過程

若一個隨機時間序列具有零均值同方差，而且不存在序列相關，則稱該序列是一個白噪音或白噪聲過程，即純隨機過程(Purely Random Process)。

基本介紹

• 中文名：純隨機過程
• 外文名：Purely Random Process
• 所屬學科：數學
• 相關概念：隨機過程，平穩過程等
• 別名：白噪音或白噪聲過程

基本介紹

隨機過程

由隨機變數組成的一個有序序列，或一個隨機變數按照時間編排的集合，稱為隨機過程(stochastic process)。記作；或。

時間序列

隨機過程的一次觀測結果稱為時間序列。記法同上。

隨機過程或時間序列一般分為兩類：一類是離散型的，一類是連續型的。

白噪音(聲)

若一個隨機時間序列是一個具有零均值同方差，而且不存在序列相關，即

則稱序列是一個白噪音或白噪聲(white noise)過程，即純隨機過程(purely random process)。如果序列是獨立同分布的，則稱之為嚴格白噪音(strictly white noise)。

當一個隨機過程包含隨機變數，其相互獨立同分布(independentand identically distribution)，則該隨機過程被稱為純隨機過程(purely random)。它暗指該過程有同定的均值和方差，純隨機過程始終是平穩過程。

圖1

另外，對於純隨機過程的與的自相關係數為零。圖1包含一個樣本數為N=200的常態分配的隨機過程的實例。檢查可觀測時間序列是否為隨機過程的重要診斷工具是相關分析圖。圖1中的殘差數據的前12階相關分析圖如圖2所示。隨機過程變數的獨立性應當反映為所有自相關係數近似等於零。

圖2

圖3 隨機遊走

令為純隨機過程，則為隨機遊走(random walk)的形式化定義為：

數值為未知。如果服從式(1)，則隨機遊走的一階差分等於：

隨機遊走的一階差分為平穩隨機過程。如果我們用圖1中的的數值，以及利用公式1計算的數值，我們得到如圖3所示的時間序列。在圖3清楚地指出，隨機遊走並不是平穩過程，因為序列的均值隨著時間變化。圖4顯示了圖3中的序列的相關分析圖，圖4的自相關的模式是典型的非平穩過程：自相關係數只有在非常大的滯後階數才接近於零。

圖4

平穩過程

當一個隨機過程的均值、方差和自協方差不隨時間變化，其被稱為二階平穩(second-order stationary)或者弱平穩(weakly stationary)過程。自協方差隨著相應的滯後而變化。與自相關類似，自協方差是序列與序列自身向後平移K個時點的協方差。序列平穩的屬性指不管序列的時間點在哪裡，只要其問距相等，的協方差就相同。注意當，則協方差就簡化為方差。