下調和函式

下調和函式(subharmonic function)亦稱次調和函式，是亞調和函式的一個子類。若-f為上調和函式，則f稱為同一區域內的下調和函式，此時，若φ(t)是t的單調增的凸函式，則φ°f為下調和函式。例如，當u(x)為D⊂R上的復值解析函式，實數α>0時，|u(x)|與αlog|u(x)|都是下調和函式。

基本介紹

• 中文名：下調和函式
• 外文名：subharmonic function
• 所屬學科：數學
• 別稱：次調和函式
• 相關概念：上調和函式、亞調和函式等

定義

定義一：設函式 在 上連續，則對 ，可以定義一個連續函式

即函式 在 上連續，在球B外部及邊界 上等於 ，在球B內是調和函式。

定義二：設 在區域 上連續，如果對 ，有

則稱 為 上的上調和函式，簡稱上調和函式；如果對 ，有

則稱 為 上的下調和函式，簡稱下調和函式。

定義三：設函式 在 上連續，如果 上的上調和函式 均滿足

則稱 是 的一個上函式；如果 上的下調和函式 均滿足

則稱是的一個下函式。

相關性質

性質1

設函式 在 上連續，在 內是調和函式，則 既是上調和函式也是下調和函式。

性質2

設 是上（或下）調和函式，則 是下（或上）調和函式。

性質3

設 與 都是上（或下）調和函式，則 也是上（或下）調和函式。

性質4

設 為 上的上（或下）調和函式，則除 恆等於常數外，它只能在邊界 上取到最小值（或最大值）。

利用上調和函式與下調和函式的定義，容易證明性質1到4。

性質5

設 都是上調和函式，則函式

也是上調和函式。

證明：由 易知， 。

另一方面，對 ,由 定義可知，對 ，有

並對 ，有

故由 ，並根據極值原理可知，對有

綜上可知， ，且對 ，有

即 為 上的上調和函式。

性質6

設 為 上的上調和函式，則 也是上調和函式。

性質7

設函式 在 的邊界 上連續，則 的任意一個上函式都不小 任意一個下函式。

證明: 設是的任意一個上函式，是的任意一個下函式，則對，有

並由性質2及性質3可知，是上的上調和函式，故由性質4可知，在上取最小值，即對，有

從而在內，不小於。即對有

性質8

設 都是 的上函式，則函式

也是的上函式。

性質9

設 是 的上函式，則函式 也是 的上函式。